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plié les exposans 2, 4 & 6 par -, l'on aura a

:6 ou ab? c' après avoir réduit les exposans fra&tionnaires en entier, de sorte que Va+6*c=ab'c', ce qui est évident. De même, Vab=ab* = avb: car a est la racine de aa, ou à', & 6" est la même chose que Vb; Vab=

b Vab; c'est-à-dire que Vab est une quantité toute irrationnelle ; Vab=albi=q1* 1. 6 1 2 (no. 2 3.) a'ažbi = avab; V 72 ab=babv2ab: car il est clair par les Exemples précedens, que Va'b' = =abVab, & je démontre que 172 6V2 en certe forte. Si l'on cherche (no. 56.) tous les diviseurs de 72; & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agissoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainsi des autres racines ) on trouvera que 36 est le plus grand. Or = 2 & 36x2=72; c'est pourquoi V72 peut être regardée comme le produit de V36 xV2 : mais V36=6; donc V72=6V2 , & partant V72 a'b3

6aby 2 ab. On trouvera de même que Vizaab=2aV36, & que

Vbaabc= av6bc ; parceque 6 ne peut être divisé par aucun quarré. Il en est ainsi des autres.

E x T R ACTION

Des racines des Polynomes. 62. LA Méthode d'extraire les racines des Polynomes, selon la maniere ordinaire , est semblable à celle d'extraire la racine des nombres.

1. 2a +6.

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-26c-CC

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EXE M P I E I. So 11 la quantité aa + 2ab + bb + 2ac + 2bc:to con dont il faut extraire la racine quarrée. Diviseurs. Quantité proposée. Racine , ou Quot.

aa + 2ab +66+2ac + 2bc +66+(a+b+c.

aa.
A. O+ 2ab +66+2ac+- 2bc+06

2ab66
12. 24+26+r.B. O 0+290 +266 +6C

2ac lic.

o Je dis, le premier terme aa est un quarré, dont la racine est a que j'écris au Quotient, & je soustrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité proposée, en l'écrivant au-dessous avec le signe — Je réduis à la maniere de la division la quantité proposée, & le quarré soustrait, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne 2a que j'é. cris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier diviseur. Je divise le premier terme + 2ab de la quantité A par 2a; ce qui me donne + b que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, &j'ai le premier diviseur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus 2ab + bb que je soustrais de la quantité A, en l'écrivant au-dessous avec des signes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a + b, & j'ai 2a + 2b pour une partie du nouveau diviseur que j'écris à la gauche de B. Je divise de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + 2a, ce qui me donne + c que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau diviseur 2a + 2b; ce qui fait 2a + 2b + c pour le second diviseur complet. Je multiplie ce second diviseur za

+26+ c par le nouveau Quotient c, & j'ai 2ac + 2bc + 60 que j'écris au- dessous de la quantité B avec des signes contraires ; & réduisant ces deux quantitez je trouve zero pour la troisiême Réduction ;

d'où je conclus que l'operation est achevée, & que par consequent, Vaa + 2ab to 6b+ 2a + 2bc+c=a+b+.

E x E M P L E II.
Soit la quantité gaa 12ab + 466 dont il faut ex-
traire la racine quarrée.
Diviseurs. Quantité proposée. Racine , ou Quotient,

gaa
12ab + 466.

(39 - 26.
· gaa
64 - 26. A. O

12ab + 466

+12ab - 466

B. Le premier terme gaa étant un quarré dont la racine est za ; j'écris za au Quotient, & son quarré gaa au-del sous de 9aa avec le signe – & la premiere Réduction est la quantité A. Je double le Quotient 3a, ce qui me donne 6a, qui font partie du premier diviseur, & que j'é. cris à la gauche de la quantité A. Je divise — 12ab par

+ 6a, ce qui me donne - 26 que j'écris au Quotient & à la droite de 6a , j'ai par ce moyen le diviseur com

- 2b. Je multiplie 6a - 26 par — 26, ce qui me donne

- 12ab + 466, & j'écris + 12ab — 4bb audessous de la quantité A. Je réduis ces deux dernieres quantitez, & la Réduction B qui se trouve égale à zero, fait voir que la quantité proposée est un quarré dont lá racine est za—26, c'est-à-dire, que Vgaa - 12ab +466 = S'il venoit une Réduction qui ne pût être divisée

par le double du Quotient , ce seroit une marque que la quantité proposée ne seroit point quarrée ; & il faudroit alors se contenter de la mettre sous le signe radical. Par

plet 6a

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exemple, si on vouloit extraire la racine quarrée de aa +60, l'on trouveroit que la racine de est

a: mais on ne pourroit diviser la Réduction bb par za, ce qui feroit voir que aa + bb, n'est point un quarré ; c'est pourquoi il faudroit se contenter d'en exprimer la racine en cette sorte Vaa + bb. Il en est ainsi des autres.

Au reste, il est aisé de connoître par la formation des puissances, ou lorsqu'on a un peu d'habitude dans le calcul algebrique, si une quantité proposée est quarrée, ou cube, &c. & d’en extraire par consequent la racine sans le secours d'aucune operation, ou par la seule inspection des termes de la quantité proposée.

63. Mais sans cela , & sans le secours des Regles que nous venons de donner , l'on peut avec toute la facilité possible extraire toutes sortes de racines, quarrées, cubes, quarrées quarrées, &c. par le moyen de la formu. le generale proposée no. 30 : car pour cela il n'y a qu'à regarder les quantitez dont on veut extraire une racine quelconque, comme des quantitez qu'il faut élever à une puissance dont l'exposant soit celui de la racine qu'on veut extraire , c'est-à-dire, que cet exposant soit , fi c'est la racine quarrée ; , fi c'est la racine cube; -, si c'est la racine quarrée quarrée, &c. ce qui est facile en suivant ce qui est prescrit no. 31, comme on va voir par les Exemples qui suivent.

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EX E M P L E I. Soit la quantité a' —- 3aab + 3abb 6; dont il fauţ extraire la racine cube, ou ce qui est la même chose , qu'il faut élever à la puissance

Ayant fait d'=p, - zaab + 3abb -b=9, & mettant ces valeurs de p & de

9

dans les deux premiers termes, p to mp a de la formule generale proposée no,

m - I

3

to ma

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2+1

2

bta

bi: mais parceque

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1

30; (car les autres termes sont inutiles, lorsque les raci. nes qu’on veut extraire, sont rationnelles ;) l'on aura a

3aab + 3abb -63, & faisant encore m , l'on aura a +

zaab + 3abb 6%, Ou 66

- a le second terme a

b=

-aob-Ib-b; le troisième & quatrième termes sont nuls. Ainsi l'on a a-6 pour la racine cherchée, c'est-à-dire, que a' - 3aab + 3abb - 6 ; ; ou vai

- 3aab + abb-63 Ab. EX EMPLE

II. Soit la quantité aa+2ab — żac+bb 2bc + cc dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puissance Ayant fait aa ou a=p, to zab

200 + bb

2bcta c=9, & metrant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p + mp

9,

l'on aura - 24c + bb - 26c + cc, ou en faisant m=isata x zab 2ac+bb ou a to a

6

c+ bb bc+a cc. Mais parceque le second & le troisiême termes deviennent +6, & - -C c; il suit que tous les autres termes , où b, & c se rencontrent sont nuls. Ainsi

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2 m 2 + ma

x 2ab

I-2

żbc + cc,

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1

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