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E x E M P L E III. Soit la quantité 9aa + 12ab + 4bb dont il faut 'extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance 2

Ayant supposé 9aa, ou ga=p; & 12ab +4bb=9; & mettant ces valeurs de p & de q dans les deux premiers termes de la Formule p + mp 9,

l'on aura 9 a

m-I

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x 12ab +466: mais

9
2 ou V9=3;

= 3; donc 3a + }
x 12ab +466, ou za to a x 12ab + 466, ou

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a

I 2 -1+1

X

3
3a + ga

b+ bb, ou 3a + 2a 6+ ja
bb: mais le second terme za b=Ib; c'est pourquoi ce
second terme est le dernier , & le troisième est nul, AinG

gaa -+- 12ab + 466

ou vgaa to 12ab + 466= 3a + 2b.

REMARQUE.

Ps

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64. Si dans aucun terme la valeur de m, exposant de
ne se trouvoit point=o, la racine de la quantité propo-
fée seroit irrationnelle, & l'extraction se pourroit con-
tinuer à l'infini; ce qu'on appelle approximation des ra-
cines : mais cela n'est point nécessaire pour l'application
de l’Algebre à la Géometrie : car lorsque la racine d'une
quantité est irrationnelle , on se contente de l'exprimer
par le moyen du signe radical qui lui convient, comme
on a déja dit, & comme on pourra voir dans la fuite.

Pour

Pour s'assurer si on a bien extrait une racine, il est bon de l'élever à la puissance : car s'il vient la quantité proposée, l'extraction aura été bien faite. Par exemple, I'on vient de trouver 31 + 26 pour la racine quarrée de gaa + 12ab + 466. Or si l'on multiplie 3a + 2b par 3a + 2b, l'on trouvera 9aa+ 12ab+466 qui est la quantité proposée; c'est pourquoi l'extraction a été bien faite.

6. IL

RE'DUCTION Des quantitez irrationnelles à leurs plus fimples expressions.

y a des quantitez complexes, comme d'incomplexes , dont on ne peut point extraire exactement la racine demandée : mais il arrive souvent que ces quantitez sont le produit de la puissance dont on veut extraire la racine par quelqu'autre quantité; & en ce cas on peut extraire la racine en partie, en mettant devant le signe radical la racine de cette puissance, & l'autre quantité sous le signe radical. Par exemple, il est aisé de voir que aab + aac n'est point un quarré, & qu'on n'en peut par conséquent extraire la racine quarrée, qu'en l'écrivant sous le signe radical en cette sorte Vaab + aac : mais on voit aisément que aab + aac est le produit de aa qui est un quarré, par b+c, ou que Vaab+aac=Vaa * Vb+c: or Var=a; donc Vaab + aac za x V6+1=aVb+; & c'est ce qu'on appelle extraire, une racine en partie, ou plutôt ce qu'on appelle réduire une quantité irration. nelle à sa plus simple expression, ce qu'on doit toujours faire quand cela se peut, soit que les quantitez soient complexes ou incomplexes.

Lorsqu'on ne voit pas par la seule inspection des termes, si une quantité irrationnelle complexe ou incomplexe peut être réduite à une expression plus simple, on l'examinera en cherchant ( no. 56. ou 57. ) tous les diviseurs qui la. peuvent exactement diviser; & s'il s'en trouve quelqu'un qui soit une puissance du même nom que la racine qu'on

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da

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veut extraire, la quantité proposée se pourra réduire à une plus simple expression : car elle pourra être regardée comme le produit de cette puissance, & du quotient qui vient en la divisant par la même puissance. Par exemple, s'il faut extraire la racine quarrée de a' zaab + 3abb - 6', en cherchant tous les diviseurs de cette quantité, on trouvera que aa 2ab+bb, qui est un quarré, cn est un , & qu'en divisant a' - 3aab + 3abb. - 6

par 2ab + bb, il vient au quotient a-b; c'est pourquoi vao-34ab+3abb-l'=V44–2ab+bộ x V2 6: or Vaa - 2ab +66=

zab+bb=a_b; donc Va’ - 3aab+zabb-b? =a-bva b.

Lorsqu'on trouve plusieurs diviseurs qui sont des puissances de même nom que les racines qu'on veut extraire, on ne se servira que du plus grand.

66. On ajoute, on soustrait, on multiplie, & on divise les quantitez irrationnelles comme les rationnelles ; & ces quatre operations se font de la même maniere

pour

les unes & pour les autres : mais pour une plus grande facilité, il les faut auparavane réduire à leurs expressions les plus simples; & comme les quantitez irrationnelles ne different des rationnelles que par le signe radical qui cara . &erise de maniere celles qu'il précede, que quand elles contiendroient les mêmes lettres que celles qui le précedent, elles ne leur seroient pas pour cela semblables; de forte

quc les quantirez qui sont hors du signe radical, ne doivent point être mêlées dans aucune de ces quatre operations, avec celles qui sont sous le signe radical.

Il faut néanmoins remarquer que les quantitez irrationnelles sont semblables, lorsque celles qui sont sous les signes radicaux, ne different en rien du tout les unes des. autres, & lorsque celles qui sont hors des signes radicaux ne different de même en rien du tout, ou ne different que par leurs coeficiens. Ainsi zava & zava; zava+b; & ava +b; á Vax — xx, & vax

- xx, sont des

quan

!

tirez irrationnelles semblables. On suppose que le signe radical soit le même, ce qui arrive toujours dans l'APplication de l’Algebre à la Géometrie.

ADDITION

Des quantitez irrationnelles. 67. ON les écrira de fuite , ou au-dessous les unes des autres avec les signes qu'on leur trouve, & lorsqu'elles seront semblables, on en fera (no. 11.) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi

pour ajouter 2avb avec 3 avb, l'on écrira 2avb+ 3avb, qui se réduir à savb. Pour ajouter 3 avb avec 20Vb, l'on écrira 3 avb + 2016, & il est indifferent de laisser ces quantitez en cer état, ou de les écrire en cette sorte 3a + 2CVb. Pour ajou. ter ávax = xx avec bax - xx, l'on écrira avax + bax

xx, ou a + b Vax - xx, Pour ajouter 3 avb avec 201d, l'on écrira 3aVb+ 200d qui ne peut point avoir d'autre expression.

XX

1

Sou S T R ACTION

Des quantitez irrationnelles. 68. ON les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites; & lorsqu'elles seront semblables, on en fera ( no. 11.) la réduction comme si c'étoit des quantitez rationnelles. Ainsi pour soustraire 3aVb de savb, l'on écrira savb - 3avb qui se réduit à 2avb. Pour soustraire 3 av 26 de 56V 26, l'on écrira sbv 26

- 3aV2b, ou 56 - 3aV26. Pour soustraire - 2bvax-xx de 3bax -xx, l'on écrira 3bax - xx+2bvax - xx, qui se réduit à sbvaxxx. Pour soustraire acvd de 3 avb, l'on écrira 3avb- 200d., qui ne peut avoir d'autre expression,

و

MULTIPLICATION

par ce

Des quantitez irrationnelles. 69. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont incomplexes, l'on multipliera la partie rationnelle par la rationnelle ; & la partie irrationnelle par l'irrationnelle, & l'on écrira le produit des parties rationnelles devant le signe radical & le produit des irrationnelles après, & l'on réduira le produit total à son expression la plus simple. Ainsi avbx (Vbaacbb: mais vbb=b; donc acvbb abc ; d'où l'on voit que lorsque les parties irrationnelles sont semblables, il n'y a qu'à multiplier le produit des rationnelles qui se trouve sous le signe radical. De même avb x VC, ou avb x IVc(car on prend l'unité pour partie rationnelle, lorsqu'il n'y en a point d'autre) = avbc ; 2avb x.36, ou 2avb x 36V1 = =babvb; 2avbc x.bab = 2abyabbc = zabbyac; zaV3bc x 36V6ab = baby 1 8 abbc = 18abby 2 ac; AV 26 x 26034 = 2ab6bc. Ďab x 'ab = Vaabb.; zařabx. 3baa=babřáb=baabýb

. Il en est ainsi des autres. 70. Si les quantitez que l'on veut multiplier sont complexes, on multipliera tous les termes de l'une

par

cha. cun de ceux de l'autre, en suivant les regles des quantitez incomplexes , & la Réduction des produits particuliers étant faite , l'on aura le produit total. Ainsi Vaa+bb x Vaa + bb=aat bb; Vaa =-aa + bb; 2avaa +66 x baa+bbe 2ab + 2ab'. Ceci est évident; car lorsque la même quantité se trouve sous le signe radical V, en ôtant le signe radical, certe quantité le trouve multipliée par elle-même. Ce qu'on peut encore prouver en cette sorte : Vaa+bb x Vaa + bb = a + bb ¿ xaa+bb aa +

= (no. 34. ) aa + 661 +, ou (no. 33.) aa+bb x2

=aa + bb. Il en est ainsi des

1

bb x

Vaa

bb

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autres,

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