페이지 이미지
PDF
ePub

lettres dans l'application de l’Algebre à tous ses usages, c'est 10. qu'après avoir fait quelques-unes des operacions dont on vient de parler sur les lettres, on en connoît non seulement le résultar , mais on connoît & on distingue en même tems toutes les quantitez qu'il renferme ; ce qui n'est point de même dans les résultats des mêmes operations faites sur les nombres.

20. Que les quantitez inconnues entrent dans le calcul aussi-bien que les connues, & que l'on opere avec la même facilité sur les unes que sur les autres. 30. Que les Démonstrations que l'on fait par

le calcul algebrique sont generales, & qu'on ne sçauroit rien prou. ver par les nombres que par induction.

C'est précisément en ces trois choses que consiste le grand avantage qu'on tire du calcul algebrique dans son application à toutes les parties des Mathematiques, qu'on en démontre tous les Theorêmes , & qu'on en résout tous les Problêmes avec autant de facilité qu'il y auroit de difficulté à faire les mêmes choses selon la maniere des Anciens.

On s'est accoutumé à employer les premieres lettres de l’Alphabet a,b,,d, &c. pour exprimer les quancitez connues, & les dernieres m, n, p, q, r, s, t, u, x, y, a pour exprimer les inconnues.

1. Outre les lettres qu’on employe dans l’Algebre, il y a encore quelques autres signes qui servent pour mar. quer les operations que l'on fait sur les mêmes lettres. Ce signe +, signifie plus, & est la marque de l’Addition.

. Ainsi a+b, marque que b est ajoutée avec a.

Ce signe -, signifie moins, &'est la marque de la Soustraction. Ainsi a -6, marque que b est soustraire de a.

Celui-ci x, signifie fois, ou par, & est la marque de la multiplication. Ainsi axb, marque que a & b, sont multipliées l'une par l'autre.

On néglige très-souvent ce signe, parcequ'on est convenu que lorsque deux ou plusieurs lettres sont jointes ensemble sans aucun signe qui sépare ces lettres, où les

quancitez qu'elles expriment, sont multipliées, par exemple ab marque allez que a & 6 se multiplient : mais on s'en sert toujours pour marquer que deux quantitez exprimées par des lettres majuscules de l’Alphabet, se mula tiplient. Ainsi ABCD; marque que la grandeur exprimée par AB eft multipliée par la grandeur exprimée par CD. On employe encore le signe de multiplication en d'autres occasions qu'on trouvera dans la suite.

Ce signe=, signifie égal, & marque qu'il y a égalité entre les quantitez qui le précedent, & celles qui le sui. vent. Ainsi a=b marque que a est egale à b.

Celui-ci > signifie plus grand. Ainsi a> b marque que a surpasse b.

Celui-ci < signifie plus petit. Ainsi a <b, marque que a est moindre que b.

Celui-ci oo signifie infini. Ainsi x=00, marque que x est une quantité infiniment grande.

2. Les lettres de l'Alphabet sont nommées quantitez algebriques, lorsqu'on les employe pour exprimer des grandeurs sur lesquelles on veut operer.

3. Les quantitez algebriques sont nommées fimples, incomplexes ou monomes, lorsqu'elles ne sont point liées ensemble par les signes + &~; a, ab, &c. sont des quantitez incomplexes.

4. Elles sont nommées composées, ou complexes, ou polynomes , lorsqu'elles sont liées ensemble

par

les signes + &-; a+b, ab + bb, ab bc + cd, -pbb, font des quantitez complexes.

S. Les parties des quantitez complexes distinguées par les signes + & — sont nommées termes

. ab + bc - cd, est une quantité complexe, qui renferme trois termes ab, bc & cd. Il y a quelques remarques à faire sur le mot de terme qu'on trouvera ailleurs.

6. Les quantitez complexes qui n'ont que deux termes sont nommées binomes; celles qui en ont trois, trinomes, &c. 7. Les quantitez incomplexes qui sont précedées du

signe +, ou plutôt qui ne sont précedées d'aucun signe (car les quantitez incomplexes, & les premiers termes des quantitez complexes qui ne sont précedées d'aucun signe sont supposées être précedées du signe + ) sont nommées positives, & celles qui sont précedées du signe

négatives; d'où il suit que les quantitez complexes font positives, lorsque les termes qui ont le signe + surpassent ceux qui ont le signe — ; négatives, lorsque les termes précedez du signe — surpassent ceux qui sont précedez du signe +

8. Les quantitez incomplexes, & les termes des quantitez complexes qui contiennent les mêmes lettres sont nommées semblables. 2abc & abc sont des quantitez incomplexes semblables; zaab— 2aab+4abb est une quantité complexe qui renferme deux termes semblables zaab &-2aab; le troisiéme terme 4abb, n'a point de semblable.

9. Pour s'appercevoir plus facilement de la similitude des quantitez algebriques, il faut toujours écrire les premieres lettres de l’Alphabet les premieres, & les autres dans leur ordre, c'est-à-dire par exemple, qu'au lieu d'écrire bac, ou cab, il faut écrire abc.

10. Les nombres qui précedent les quantitez algebriques sont nommez coefficiens.

Dans cette quantité aa + 3 ab + 466, 3 & 4 sont les coefficiens des termes 3 ab, & 4bb. L'on prend l'unité pour

coefficient des quantitez qui ne sont précedées d'aucun nombre, & quoique l'on n'ait point accoutumé de l'écrire, on la doit neanmoins toujours supposer. Ainsi aa doit être regardée comme s'il y avoit laa.

REDUCTION

Des quantitez complexes algebriques à leurs plus

fimples expresions, 11. Il faut ajouter les coefficiens des termes semblables, lorsqu'ils ont le même signe + ou -, & donner à la fomme le même signe : & lorsqu'ils ont differens signes,

il faut soustraire les plus petits coefficiens des plus grands, & donner au reste le signe du plus grand. Ainsi 3 ab+ 2 ab étant réduite , devient sab; 4ac + 4ab

6ab devient zab; 3a sa devient — 24; 3abc - abc, ou 3 abc -- 1abc, devient 2 abc. Il en est ainsi des autres.

Dans tous les calculs algebriques, il ne faut jamais laisser de termes semblables sans être réduits.

ADDITION Des quantitez algebriques incomplexes en complexes. 12. Il n'y a qu'à les écrire de suite , ou au-dessous les unes des autres avec leurs signes, & réduire ensuite les termes semblables, & l'on aura la somme des quantitez qu'il falloit ajouter ensemble. Ainsi pour ajouter 3 ab46c + scd avec 2ab - 3cd, l'on écrira zab 460+ scd

3cd, qui se réduit à sab- 46c + 2cd. Pour ajouter sabc-4bcd avec sabd-8abc+ 6bcd, l'on écrira Sabc-4bcd+sabd-8abc + 6bcd, qui se réduit à sabd

- 3 abc + 2bcd. Pour ajouter ba-- 36 avec 2a+36, l'on écrira 6a 36+ 2a +36, qui se réduit à 8a. Il en est ainsi des autres.

+ 2ab

SOUSTRACTION Des quantitez algebriques incomplexes & complexes. 13. Il n'y a qu'à les écrire de suite, ou au-dessous l'une de l'autre en changeant tous les signes de celles qui doivent être soustraites; & l'on aura après la réduction des termes semblables, la difference des quantitez proposées. Pour soustraire 3a — 26+ 30 de sa

36-50, l'on écrira sa-36-56-3a+26 - 3c, qui se réduit à 22b-8c. Pour soustraire zub – 26c+,2cd de sab -46c+ +'2cd, l'on écrira sab- 46c + icd 3ab + 2bc-2cd, qui se rédait à 296 - 2bc. Il en est ainsi des autres.

[ocr errors]

MULTIPLICATION
Des quantitez algebriques incomplexes, & de leurs

puissances.
14. On est convenu que pour multiplier deux ou plu-
sieurs lettres, il n'y a qu'à ses écrire de suite sans aucun
signe qui les sépare, & l'on aura le produit cherché. Ainsi
pour multiplier a par b, l'on écrira ab. Pour multiplier
chb
par ac,

l'on écrira aabc. Il en est ainsi des autres. Il y a souvent des nombres, ou coefficiens qui précedent les quantitez algebriques qu'il s'agit de multiplier ; il faut ausli avoir égard à leurs signes. Voici la regle qu'il faut suivre.

15. On multipliera les coefficiens, ensuite les lettres, & on donnera au produit le signe + fi les deux quantitez sont précedées du même signe + ou -, & on lui don. nera le signe , si l'une des quantitez est précedée du signe + & l'autre du signe

Pour multiplier za par 2b, on dira trois fois deux font fix, a par 6 fait ou donne, ou est égal à ab; ainsi l'on aura 6ab pour le produit de 3a * 26. De même 3ab

baabb. • zabx 2cd=+ 6abcd. 5ab. cd, ou icd= sabcd. aab abb= aaabbb, ou a}b3 : car lorsque la même lettre se trouve plus de deux fois dans un produit, on l'écrit seulement une fois , & l'on écrit à la droite un caractere arithmetique qui exprime combien de fois cette lettre doit être écrite. Ainsi pour aaaa,

, l'on écrira a'; pour aaabbb, l'on a écrit a'b'; on peut aufli pour aa écrire a'; pour bb, 6', &c.

DE FINITION. 16. Le caractere arithmetique qui marque combien de fois une lettre doit être écrite dans un produit, est nommé exposant. Ainsi dans a'b*, 3 est l'exposant de a,& 4, celui de b; dans a'b, 3 est l'exposant de a, & i l'exposant de b: car quand une lettre est seule, ou qu'elle ne doit être écrite qu'une fois dans un produit, on doit supposer

[ocr errors]
« 이전계속 »