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Pour multiplier Vă + 6 par va-b, on multipliera a +6 par a-6, comme si c'étoit des quantirez rationnelles, & l'on aura Vaa bb. De même a + Vab x b= ab + bab; a+Vab x Vbc=avbc + Vabbc = avbc + bar; 3 av be- 26Vac * 2cVab= bacVabbc-4bcVaabc=6abcvac -4abcvbc. Voici des Exemples plus composez,

a +Vaabb multiplié.
par a +Vaa bb
aa tavaa bb

tavaa -bb + ad- bb Produit aa + 2avaa 6b+ aa bb.

at Vaa—xx multiplié par

Vaa Produit aa + avaa — xx

avaa XX aa to XX

XX

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XX

ac + bvaa

Vab + vaa

- xx multiplié
par Vab + Vaa
Produit ab + Vab

- abxx
to Våb abxx + aa-xx
=ab+ 2Vab-abxx + aa- xx.

– xx multiplié

Vaa Prod. abcc + bbcvaa — xx - accvaa -

bev

aayy + xxyy abcc + bbevaa - x*—

** — accvaa---yy
(-ba-đaxx- aayy + xxyy.

par bc

.

DIVISION

Des quantitez irrationnelles,
71. ON écrira le dividende au-dessous du diviseur en
forme de fraction, & l'on prendra cette fraction pour le
Quotient de la division. Mais lorsque l'on s'appercevra
que le dividende sera le produit du diviseur par une au-
tre quantité, ce qui est aisé dans les quantitez incom-
plexes , on prendra cette autre quantité pour le Quo-
tient. Et dans les quantitez complexes, lorsqu'on n'ap-
percevra pas le Quotient, on examinera (no. 46.) si la
division se peut faire ; & si elle se fait, l'on aura un Quo-
tient sans fraction : mais si elle ne se fait point, on se con-
tentera de la division indiquée. Ainsi

Vb;
Van
CVc; = 3aV 30 ;

a-xicar a + x x a
74+*
--xx. Il en est ainsi des autres.
y a d'autres Réductions pour les divisions indiquées
qu'on trouvera ailleurs ; & tout ce que nous allons dire
des raports & des fractions, se doit ausli entendre de ces
sortes de divisions, soit qu'elles soient rationnelles, ou irra-
tionnelles.

Yab

acvbc

va

ayb

1200V6bc

46726

X = aa

Il

T H E O R I E

Des Raisons , ou Raports des Fractions, des

Equations, @r des Proportions,

DE' FINITIONS.

sur les gran:

IT. Aison, ou Raport est la comparaison de deux grandeurs de même genre, telles

que

sont deux nombres, deux lignes , deux surfaces, deux corps, deux espaces de temps, deux quantitez de mouvenient, deux vitesses d'un même , ou de deux differens mobiles, deux poids, deux fons, &c. Or comparer les grandeurs, c'est

les grandeurs, c'est operer sur les deurs ; & comme l'on ne peut operer sur les grandeurs qu'en les ajoutant, soustrayant, multipliant, divisant, & en extrayant les racines ; il faut neceilairement

que

leur comparaison se fasse par quelques-unes de ces opera, tions.

Mais parceque l’Addition, & la Multiplication les confondent, & n'en marquent point l'égalité, ou l'inégalité, en quoi consiste précisément la comparaison des grandeurs, & que l'extraction des racines n'agit que sur une seule ; & qu'au contraire la Soustraction fait connoître l'égalité de deux grandeurs, ou l'excès de l’une par-dessus l'autre, ou la difference de l'une à l'autre, & que la Division détermine combien de fois une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre ; ou, ce qui est la même chose, indique la manicre dont une grandeur en contient, ou est contenue dans une autre, ou en marque l'égalité ; il suit qu'il n'y a que la Soustraction & la Division qui puissent servir à comparer les grandeurs.

1. La comparaison de deux grandeurs par la Soustra. ction; ou, ce qui est la même chose, la Soustraction ellemême, est nommée raison ou raport arithmetique. Ainsi

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ou

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b

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12 —4; a - b, ou b--a, &c. sont des raisons ou des
raports arithmetiques.
2. La comparaison de deux grandeurs par la Division;

ce qui est la même chose, la Division elle-même
eft appellée raison, ou raport géometrique. Ainsi ***
i, ou , &c. sont des raisons ou des raports géometriques, .

On prend ici la Soustraction indiquée pour la Soustra&tion même, ou pour la difference des deux grandeurs qui la composent ; & l'on prend de même la Division indiquée pour la Division même, ou pour le Quotient des deux quantitez qui la forment,

On appellera dans la suite Rédučtion, le résultat de ces deux Regles ou de ces deux Raports, c'est-à-dire, la difference & le Quotient des deux quantitez qui les composent.

C o R O L LA IRE 3. Il est clair que les raisons ou raports tant arithme. . tiques que géometriques, sont égaux lorsque leurs Réductions sont égales. Ainsi 12 —4=16—8, parceque 12 –4=8, & 16—8=8. De même *** =;

parceque =35&_=3. Par la même raison, fi ;=f&=f; l'on aura 2 =

4. Mais les Réductions , ou les Quotiens des divisions, ou des raports geometriques, sont toujours égaux , lorfque

les dividendes contiennent , ou font contenues de même maniere dans les diviseurs. C'est pourquoi lorfqu'une grandeur a contiendra, ou sera contenue dans une autre grandeur b, comme une troisième c contient ou est contenue dans une quarriême d, ces quatre grandeurs formeront toujours deux raports géometriques égaux,

I.

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b

d

COROLLAIRE II.

1

IO

16

16

- : car 8

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8

COROL L'AIRE II. s

IL est de même évident que les raisons, ou raports tant arithmetiques que géometriques , sont inégaux, lorsque leurs Réductions sont inégales , &. que le plus grand est celui dont la Réduction est la plus grande. Ainsi 12 —4> 6: car 12

4=8, & 10 6=4. De même > : car = 3, &

6. Le premier terme d'un raport arithmetique , & le terme superieur d'un raport geometrique, sont nommez antecedens ; le second d'un raport arithmetique, & l'inferieur d'un raport géometrique, sont nommez confequens. Ainsi dans les raports a ~6, &

6, &, a est l'antecedent, & b le consequent : mais comme les raisons ou les raports géometriques ne sont autre chose

que

des Divisions indiquées, & que ces Divisions sont, à proprement parler, des frađions; il suit qu'il n'y a aucune difference entre raison, raport, division, & fraction; de sorte que tout ce qu'on dira dans la suite des uns, se doit aussi entendre des autres. On remarquera seulement que pour parler comme les autres, lorsqu'il s'agira des raisons ou raports, on appellera les deux termes antecedent & confequent ; lorsqu'il s'agira de Divisions, on les appellera dividende & diviseur ; & lorsqu'il s'agira de fractions, on les appellera numerateur & dénominateur.

7. Lorsque l'antecedent d'une raison est égal à fon consequent, on l'appelle raison d'égalité ; & lorsque l'un surpalle l'autre, on l'appelle raison d'inégalité. 8. Lorsque l'antecedent d'un raport

géometriqué, contient plusieurs fois exactement son consequent, il est nommé multiple de ce consequent; & lorsque l'antecedent est contenu plusieurs fois exactement dans son consequent, il est nommé soùmultiple du même consequent.

9. De tels raports tirent leur dénomination du nombré de fois que l'antecedent contient le consequent , ou

f

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