페이지 이미지
PDF
ePub

y est contenu. De sorte que si l'antecedent contient deux, trois, quatre fois, &c. son consequent, le raport sera nomdouble , triple quadruple , &c. & si l'antecedent est contenu deux, trois, quatre fois, &c. dans le consequent, le raport sera nommé soudouble, foútriple, souquadruple, &c. Ainsi est un raport triple, & il est un raport foû. triple.

10. On appelle équation deux quantitez algebriques differentes, entre lesquelles se trouve le signe d'égalité ; ainli a=b; ax — xx=yy; x= font des équations.

11. Les deux quantitez algebriques qui se trouvent de part & d'autre du signe d'égalité sont nommées membres de l'équation ; celle qui le précede est nommée le premier membre, & celle qui le suit, le second. D'où l'on voit que les deux membres d'une équation sont les expressions algebriques d'une même quantité, ou de deux quantitez égales.

COROLLA I R E. 2. Il est évident que deux raports égaux arithmetiques, ou geometriques, peuvent toujours former une équation. Ainsi si a surpasse', ou est surpassée par b, de la même quantité que c surpasse ou est surpassée par d, l'on aura toujours a -6=c-d, ou b-a=d-c. De même si a contient ou est contenue dans b, comme c contient ou est contenue dans d, l'on aura toujours ;=as ou

I 2.

d

13. Mais si au lieu de former une équation de deux raports égaux, arithmetiques, ou géometriques, on arrange leurs quatre termes de suite, en forte

que

l'ante. cedent de l'un des deux raports soit le premier, son con

le second ; l'antecedent de l'autre raport, le troisiême, & son consequent le quatriéme, en séparanč les deux raports par quatre poines, & les deux termes de

sequent ,

[ocr errors][ocr errors]

chaque raport par un seul point, en cette forte a..b::c.d. (en supposant que a-b=-d, ou;=á); on appellera proportion , ou analogie cette disposition des quatre termes de deux raports egaux. De sorte que proporcion ou analogie , n'est autre chose que l'égalité de deux raports arrangez autrement qu'en équation. Si les

raports sont arithmetiques, on la nommera proportion arithmetique ; s'ils sont géometriques, on la nommera proportion géometrique.

14. Pour énoncer une proportion, comme celle-ci a. b::c.d; on dira, si elle est arithmecique, a surpasse b, ou est surpassée par b; comme c surpasse d, ou est surpas. sée par d; & si elle est géometrique, on dira a contient b, ou est contenue dans b, comme c contient d, ou est contenué dans d. Mais pour abreger, soit que la proportion soit arithmietique, ou géometrique, on dit a est à b., comme c est à d, ou comme a est à b, ainsi c eft à d, en observant neanmoins que le mot est signifie surpasse, ou est surpassé dans la proportion arithmetique ; & que dans la geometrie, il signifie contient ou est contenu.

L'on distingue deux sortes de proporcions, tant arith. metiques que géometriques, la discrete, & la continue.

15. La proportion discrete est celle dont les quatre termes sont differens, comme celle ci a. 6::c. d. 16. La proportion continue, est celle où la même

quantité est le consequent du premier raport & l'antecedent du second, comme celle-ci à. b::b.c.

17. Les quantitez qui forment une proportion sont nommées proportionnelles. Ainsi la proportion discrete renferme quatre proportionnelles, & la continue n'en renferme que trois, & celle du milieu est nommée moyenne proportionnelle , arithmetique ou géometrique, selon que la

proportion est arithmetique ou géometrique, & dans l'une & dans l'autre proportion, le premier & le dernier termes font nommez extremes, & les deux du milieu , moyens. 18. Lorsqu'une proportion continue renferme plus de

[ocr errors]

trois termes : ou plutôt lorsque plusieurs grandeurs dont le nombre surpasse 3, font rangées de suite, de maniere que

chacune d'elles puisse servir de consequent à celle qui la precede, & d'antecedent à celle qui la suit, cette rangée de grandeurs est appellée progression, arithmetique ou géometrique, selon

que
les raports, que

les grandeurs qui la composent, ont entr'elles, sont arithmetiques ou géometriques. A, B, C, sont des progressions arithmetiques, D, E, F, des progressions géometriques.

A. 1. 2. 3. 4. 5, &c. D. 1. 2.4.8. 16, &c. B. 10.8 6.4. 2, &c. E. 81.27.9.3.1, ec. C. 4. 2.0--2-4,&c. F. 4. 2. 1. &c.

COROLLAIRE I. 19.

Il est clair ( no. 18.) que dans une progression arithmetique, l'excès d'un terme quelconque par-dessus celui qui le suit, ou qui le precede, doit être toujours le même. De sorte que si on nomme le premier terme d'une progression arithmetique a; & l'excès qui regne dans la progression m, (m peut signifier un nombre quelconque, entier , ou rompu , positif, ou negatif) 'l'on pourra former par le moyen de ces deux lettres, une progression arithmetique generale en cette forte, a. a + m. a +2m. a +3m, &c,

COROLLA IR E II. 20. Il n'est

pas
moins évident

que

fi dans la progression géometrique, l'on divise un terme quelconque par celui qui le suit, la réduction, ou le quotient sera toujours le même ; c'est pourquoi si l'on nomme le premier terme d'une progression géometrique b, & la réduction ou quotient qui regne dans la progression n ( n signifie un nombre positif, entier, ou rompu), l'on pourra former une progression géometrique generale, en cette forte, :: 6

, &c. car fi une quantité 6 divisée par

b

b

b m

une autre, donne au quotient n, la même quantité b, divisée

par le quotient n donnera cette autre. 21. Ceci se peut aussi appliquer aux proportions tant arithmetiques que geometriques. Soit par exemple, la proportion arithmetique suivante a. 6:: c. di si l'on nomme a-b, ou b.

-6, ou ba,m; cd ou dc sera aussi m; donc a. a-m :: 6.6m, ou a.a+m:: 6.6+m, d'où l'on voit que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens, c'est-à-dire, a +r+m=a+m+, puisque ces deux sommes, qui sont les deux membres de cette équation, renferment les mêmes quantitez.

2 2. De même, si dans la proportion géometrique suivante a. b::c.d, on fait ; =n; l'on aura auffi. <=

=n; & partant (no. 20.)a. -::-.- ; d'où l'on voit aussi que le produit des extrêmes est égal au pro. duit des moyens, c'est-à-dire, :car ces deux produits qui sont les deux membres de cette équation, ren. ferment les mêmes quantitez,

AXIOME I. 23. Si l'on ajoute, ou si l'on soustrait, ou si l'on multiplie, ou si l'on divise des quantitez égales par des

quantitez égales ; les sommes, ou les differences, ou les produits, ou les quotiens , seront égaux.

COROLLA I RE s. zer. Il suit qu'on peut ajouter, soustraire , multiplier, ou diviser les deux membres d'une équation par les deux membres d'une autre, chacun

par

chacun. Par exemple, si a=6,&c=d, l'on aura a+c=b+d, ou a +d =6+6; ac=bd, ou ad=bc; -=; i

2e. Il suit aussi de cet Axiome, & de ce que l’Addition & la Soustraction ont des effets contraires, que

l'on

peut

ou

passer tel terme que l'on voudra d'un membre d'une équation dans l'autre en changeant son signe, ce qu'on appelle transposition. On peut même passer tous les termes d'un des membres dans l'autre, ce qu'on appelle égaler tout à zero. Ainsi cetre équation a +b-s=g se peut changer en celle-ci a+b=9+c, ou en celle-ci a=8+1-6, ou en celle-ci a +bc-g=0, ou o=8-a-b+c: car par exemple, dans le premier changement, on ne fait qu'ajouter c de part & d'autre du signe d'égalité, parcequ'elle y est soustraite, ce qui donne a+b-c+c=8+1, qui se réduit à a+b=5+c. Il en est ainsi des autres. changemens.

3e. Il suit de ce Corollaire que l'on peut changer tous les lignes d'une équation ;" car il n'y a qu'à supposer qu'on fait paller tous les termes d'uri membre dans l'autre; & que l'on peut mettre leuls, dans un des membres, les termès qu'on veut, avec les signes qu'on veut.

44. Il luit encore du même Axiome, & de ce que la division détruit ce que fait la multiplication, & au contraire ; qu'on peut délivrer une équation de toutes les fractions qui s'y peuvent rencontrer : car il n'y a qu'à multiplier toute l'équation par tous les dénominateurs l'un après l'autre , ou ce qui revient au même, la multiplier une seule fois par le produit de tous les dénominateurs, & ensuite réduire (art. 1. no. 37.) les termes fractionnaires. Par exemple, pour ôter les fractions de cette équation

+ gx =
=, on la multipliera par c&puis par

abccd a, ou une seule fois par ac, & l'on aura

targx=

abccd mais (art. 1. no. 37.) -aabx, & bccd; donc aabx + acgx= bccd qui n'a plus de fractions.

L'on abrege l'operation, & particulierement quand les dénominateurs sont des polynomes, en écrivant les numerateurs des termes fractionnaires sans

у

rien changer, & en multipliant les autres termes par les dénominateurs.

abx

bcd

[ocr errors]

с

aabcx

[ocr errors]

aabcx

[ocr errors][ocr errors]
« 이전계속 »