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Ainsi pour

ôter la fraction de cette équation ayant multiplié c par 6-y, l'on aura xx — aa=bc-cy. Il en est ainsi des autres.

se. Il suit aussi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puissance qu'on voudra d'une même lettre , qui se trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puissance:car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où se trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre , & qu'à faire ensuite la réduction. Par exemple, li dans cette équation ax=bc, l'on veut mettre x seule dans le premier membre, l'on aura en divisant

be

toute l'équation par a,

: mais ( art. 1, no. 37.) = x; donc x= Le second membre ne peut être

bc

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réduit.

Si dans celle-ci ax=ab + bx bc, l'on veut avoir x seule dans un des membres, l'on aura en transposant, & en supposant que a surpasse 6, ax — bx

bx = ab-bc,&

-box ab-bc, en divisant tout par a -6, l'on aura

bac mais ( art. 1. no. 43 , ou 46.) =x; donc x =

b ebbc

a b

ax

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Si dans cette équation ax - bx aa' bb, l'on veut avoir x seule , en divisant par a=b, l'on aura

ax - box

a-b

-bb

bx

44

:*, &

- bb

: mais ( art. 1, no. 46.)

.b =a+b; donc x=a+b.

b

4-6

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2axyy +

l'on aura yy

2axi
AA - lar+XX

II.

Si dans cette équation aaxx + aayy - 2ax'xxyy =0, l'on veut mettre yy seule dans le premier membre, l'on aura en transposant aayy 2axyy + xxyy 2ax

aaxx , & en divisant chaque membre par aa2ax to xx,

=

Il en est ainsi des autres..

A X I OM E 24. Les puissances & les racines des quantitez égales sont égales.

Ainsi fix=ta, l'on aura en quarrant chaque menbre xx=aa; & fi xxaa, les racines feront x=+a; fi xx= ab, les racines seront x=+Vab. Si xx= ab, les racines seront x=+V-ab, qu'on appelle racine imaginaire , parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, relles sont toutes les quantitez irrationnelles negatives. Si yy=***********

Vzux? les racines seront Coil mais (art. 1. no. 66.) V2ax' aaxx = XVzax

*V 2ax Vaa - 2ax + xx = a - *; donc y

= Si ** = ax+bb, les racines seront x = Vaa + bb: car en transposant, l'on a xx -- ax = or si l'on extrait ( art. 1. no. 62.) la racine du premier membre xx — ax, on trouvera qu'il y manque taa, afin qu'il soit quarré; c'est pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa , l'on aura xx—ax+ aa=

aa+bb: mais Vxx

= (art. 1. no. 62.) % - a, & la racine du second membre ne s'extrait que par le moyen du ligne radical ; done x - a=+VI aa + bb ou en transposant x = a + vaa + bb. Si les signes

étoient

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aa , &

bb:

4

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2

étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'est aussi parceque les puissances des quantitez égales sont égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les signes radicaux : car s'il ne s'y en rencontre qu'une , après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens ; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puissance qui a pour exposant celui du signe radical. Ainsi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=2-xx Vxx + yy, l'on aura en divisant par a -- *,

=

XX

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=b

Vxx + yy ,

Vxx + yy, ou en divisant par Vxx+yy, Vxx+yy - *, & en quarrant chaque membre, l'on aura

xx tyy =aa - 2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

Mais s'il se rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l’une, & ensuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantirez irrationnelles, cette équation Vxx + yy+Vaa — 24x+xx + yy=b, l'on aura en tranfposant, Vaa 20x + xx + yy

& en quarrant chaque membre, l'on aura aa yy =bb 26Vxx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui se détruit par la réduction, & transposant, il vient 2bVxx +yy

=b6-aa + 2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx + 4bbyy=6*- zaabb + a* + fabbx — 48' x + 4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles,

AXIOME III. peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle substituer:

S

2 ax + x x to

25. ON

que

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20 & 21, une Méthode pour démontrer très facilement toutes les proprietez des proportions, & des progressions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'est pas assez generale , & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me suis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non seulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous · les Theorêmes l'on le propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe.

PRINCIPE. 28. APR e's avoir nommé les quantirez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la consequence aussi en équation; & en suivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corollaires, on fera en sorte de rendre l'Hypothese semblable à la consequence, & alors le Theorême sera démontré. Et si les termes de l'équation qui renfermera la consequence, se trouvent entierement semblables ; de sorte que par la réduction, elle puisse devenir o=o. Le Theorême sera aussi démontré : car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement semblables sans être égaux, & ne sçauroient se détruire sans être semblables.

EXPLICATION DU PRINCIPE. 10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Consequence; l'Hypothese est ce que l'on y suppose; & la Consequence est la verité qu'il s'agit de démontrer.

20. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aisé de changer en equation: car si l'on a, a.b::cid, l'on aura (no. 11.)

a-6 =r-d, si la proportion est arithmetique, & si la proportion est geometrique, puisque proportion n'est autre chose que l'égalité de deux raports,

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d

ce par

le

30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prises arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équacions, comme on verra par les Exemples.

4o. On tirera de l'Hypothese autant d'équations qu'on pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence.

Lorsqu'il s'agit de démontrer quelques proprierez tou. chant les grandeurs inégales , & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothese, & la consequen

moyen du signe >, ou <, en cette sorte a ou <b, > ou <-,& on se servira de ces expressions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme si c'étoient des équations: car il est clair qu'on peut ajouter, soustraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puissances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, ( si ce n'est par

addition & par multiplication : car quoique 12 > 8 & 6 > 1, l'on a 12-658 – 1&12 < ) sans que le membre le plus grand cesse d'être le plus grand; de sorte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Consequence, ou la Consequence semblable à l'Hypothese, que si c'étoit des équations, & de démontrer par consequent toutes les proprierez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux.

5°. Il est quelquefois à propos & même necessaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Consequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22 ; & de nommer par les mêmes lettres les quantitez inégales qui ne sont point proportionnelles, en caracterisant les unes par quelque signe, ou par quelque lettre qui fasse voir leur inégalité. Par

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