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Ainfi pour

ôter la fraction de cette équation

XX aa

b-y

bc-cy.

ayant multiplié c par by, l'on aura xx-aabc — Il en eft ainfi des autres.

se. Il fuit auffi qu'on peut délivrer une lettre, ou telle puiffance qu'on voudra d'une même lettre, qui fe trouve dans une équation, de toutes autres quantitez qui l'accompagnent; ce qu'on appelle trouver la valeur d'une lettre ou d'une puiffance: car il n'y a pour cela qu'à divifer toute l'équation par les quantitez qui multiplient cette lettre après avoir mis dans un des membres tous les termes où fe trouve cette lettre, & tous les autres termes dans l'autre membre, & qu'à faire enfuite la réduction. Par exemple, fi dans cette équation axbc, l'on veut mettre x feule dans le premier membre, l'on aura en divisant

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réduit.

bc

a

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Si dans celle-ci ax = ab + bx - bc, l'on veut avoir x feule dans un des membres, l'on aura en tranfpofant, & surpasse b, ax - bx — a b — bc, & en fuppofant que a furpasse b, ax

en divisant tout par a-b, l'on aura

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=

ax bx ab-bc

ab

-b

=x; donc x=

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avoir x feule, en divifant par ab, l'on aura

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Si dans cette équation aaxx+aayy2ax3-2axyy → xxyy =0 l'on veut mettre yy feule dans le premier membre, l'on aura en tranfpofant aayy

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zaxyy + xxyy

2ax3 — aaxx, & en divifant chaque membre par aa ́zax + xx, l'on aura

autres..

yy=

2ax3 -aaxx aa - Zax+xx'

Il en est ainfi des

AXIOME I I.

24. LES puiffances & les racines des quantitez égales font égales.

Ainfi fix=+a, l'on aura en quarrant chaque membre xx=aa; & fi xx⇒ aa, les racines feront x=+a; fi xx=ab, les racines feront x=+√ab. Si xx——ab, les racines feront x=+V-ab, qu'on appelle racine imaginaire, parce que l'on n'en peut pas exprimer la valeur, telles font toutes les quantitez irrationnelles negatives.

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: 4

I

xV2ax

- Ал

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Ꮴ aa - 2ax + xx

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Si xx ax + bb, les racines feront x= za + Vaa+bb: car en tranfpofant, l'on a xx — ax — ax=bb: or fi l'on extrait (art. 1. n°. 62.) la racine du premier membre xxax, on trouvera qu'il y manque +aa, afin qu'il foit quarré, c'eft pourquoi en ajoutant de part & d'autre aa, l'on aura xx—ax + — a ax + — aa = — aa+bb: mais √xx ax + aa = (art. 1. no. 62. ) x — — a, & la racine du fecond membre ne s'extrait que par le moyen du signe radical; donc x — — a=+√ 1⁄2, aa+b6 ou en tranfpofant x = a Vaa+bb. Si les fignes étoient

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étoient differens, cela n'apporteroit aucun changement dans l'operation.

C'eft auffi parceque les puiffances des quantitez égales font égales, que l'on peut délivrer une équation des quantitez irrationnelles qui s'y rencontrent : ce qu'on appelle faire évanouir les fignes radicaux : car s'il ne s'y en rencontre qu'une, après l'avoir mise seule dans un des membres de l'équation par les Corollaires précedens; il n'y aura qu'à élever chaque membre à la puiffance qui a pour expofant celui du figne radical. Ainfi pour délivrer des quantitez irrationnelles, cette équation xx=a—xx √xx+yy, l'on aura en divifant par ax

xx

Vxx+yy, ou en divifant par √xx+yy, Vxx+yy -x, & en quarrant chaque membre, l'on aura

xx+yy = aa— 2ax + xx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles.

=

& en

Mais s'il fe rencontre deux quantitez irrationnelles dans une même équation, on la délivrera de l'une, & enfuite de l'autre comme on vient de dire. Par exemple, pour délivrer de quantitez irrationnelles, cette équation √xx +yy+√aa — 2ax+xx+yy=b, l'on aura en tranfpofant, Vaa- 2ax + xx+yy zax + xx✦ yy — b — √xx + yy › quarrant chaque membre, l'on aura aa— 2ax + xx+ 2b√xx + yy + xx+yy, & en ôtant ce qui fe détruit par la réduction, & tranfpofant, il vient 2b√xx+yy ―aa+2ax, & en quarrant encore chaque membre, l'on a 4bbxx+4bbyy — b*— zaabb + aˆ + 4abbx — 4α3⁄4% +4aaxx, où il n'y a plus de quantitez irrationnelles,

yy

=

=bb

bb

=

AXIOM E III.

25. ON peut mettre en la place d'une quantité quelconque incomplexe ou complexe, une autre quantité égale incomplexe, ou complexe, ce qu'on appelle fubftituer:

g

20 & 21, une Méthode pour démontrer très-facilement toutes les proprietez des proportions, & des progreffions tant arithmetiques que geometriques : mais elle n'eft pas affez generale, & ne convient qu'aux grandeurs proportionnelles; c'est pourquoi je me fuis déterminé à prendre une autre voye, qui convienne tout à la fois, non feulement aux grandeurs proportionnelles, mais encore à tous les Theorêmes que l'on fe propose de démontrer par l'Algebre dans toutes les parties des Mathematiques. Voici le principe.

PRINCIPE.

28. APR E's avoir nommé les quantitez qui doivent entrer dans la question par des lettres, l'on écrira l'Hypothese en équation, & la confequence auffi en équation; & en fuivant les trois Axiomes précedens, & leurs Corol laires, on fera en forte de rendre l'Hypothefe femblable à la confequence, & alors le Theorême fera démontré. Et fi les termes de l'équation qui renfermera la confequence, se trouvent entierement femblables; de forte que par la réduction, elle puiffe devenir o o. Le Theorême fera auffi démontré: car les termes d'une équation ne sçauroient être entierement femblables fans être égaux, & ne fçauroient fe détruire fans être femblables.

EXPLICATION DU PRINCIPE.

10. UN Theorême contient deux parties, l'Hypothese & la Confequence; l'Hypothese eft ce que l'on y fuppofe; & la Confequence eft la verité qu'il s'agit de démontrer. 20. Le principe demande qu'on écrive toujours l'Hypothese en équation. Souvent l'Hypothese renferme cette équation, ou une proportion qu'il est aifé de changer en équation : car fi l'on a, a. b :: c. d, l'on aura (no. 11.) a —b

=c-d, fi la proportion est arithmetique, &

a

d

fi la proportion eft geometrique, puifque proportion n'est autre chofe que l'égalité de deux raports,

30. Si l'Hypothese ne renferme ni équation ni proportion, on égalera les quantitez qu'elle renferme à d'autres lettres prifes arbitrairement, & l'on aura par ce moyen des équations, comme on verra par les Exemples.

4o. On tirera de l'Hypothefe autant d'équations qu'on pourra: car cela ne peut que faciliter les moyens de rendre I'Hypothese femblable à la Confequence.

Lorfqu'il s'agit de démontrer quelques proprietez touchant les grandeurs inégales, & touchant les raports inégaux, l'on exprimera l'Hypothefe, & la confequence par le moyen du figne >, ou <, en cette forte a > ou <6, <-, & on fe fervira de ces expreffions, que l'on pourroit appeller inégalitez, comme fi c'étoient des équations: car il eft clair qu'on peut ajouter, fouftraire, multiplier, & diviser les deux membres de ces inégalitez par une même quantité, ou par des quantitez égales, les combiner, comme on voudra avec des équations, les élever à des puiffances, en extraire les racines; en un mot, on peut les traiter à la maniere des équations, pourvû qu'on ne les combine point ensemble, ( fi ce n'est par addition & par multiplication: car quoique 12 8 & 6 > 1, l'on a 12-648 — 1 & 2) fans que le membre le plus grand ceffe d'être le plus grand; de forte qu'on aura les mêmes moyens de rendre l'Hypothese semblable à la Confequence, ou la Confequence femblable à l'Hypothese, que fi c'étoit des équations, & de démontrer par confequent toutes les proprietez des raports inégaux, de la même maniere que celle des rapports égaux.

-

50. Il eft quelquefois à propos & même neceffaire, pour rendre plus facilement l'équation qui renferme l'Hypothese semblable à celle qui renferme la Confequence, de nommer les grandeurs proportionnelles, comme nous avons dit no. 19, 20, 21 & 22; & de nommer par les mêmes lettres les quantitez inégales qui ne font point proportionnelles, en caracterifant les unes par quelque figne, ou par quelque lettre qui faffe voir leur inégalité. Par

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