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duite en proportion, il faut que chaque membre soit le
produit de deux quantitez qui se puifle séparer par la di-
vifion; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la chan-
ger d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on
ne peut réduire cette équation xx = ax + bb en propor-
tion dans l'état où elle est : car le second membre ne peut
être divisé par aucune quantité : mais en transposant, l'on
ax = bb, d'où l'on peut tirer x. b :: b. x - a. De
celle-ci
aa-bb, on peut tirer a-b. x::x.
De celle-ci xx=aa+bb, ou xx
x — a . b :: b .x + a. Mais pour changer celle-ci xx=aa
- be en proportion; il faut changer be en un quarré, ou
aa en un rectangle dont un côté soit b, ou c; faisant donc,
par exemple, bec =dd, l'on aura xx = aa dd, d'où l'on
tire a- d. x :: x. a + d. Il en est ainsi des autres.

a

XX

xxaa

a+b. aa=bb, on peut tirer

ab

C

3e. Il suit aussi qu'un raport ou une fraction comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres: car faisant

ab

C

= x, l'on aura en multipliant par

ab

c, ab=cx ; donc (no. 31.) c. a :: b. x, ouc.a :: b. en

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C

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4. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, sont proportionnelles, c'està-dire que a. b :: c. d, elles feront aussi proportionnelles dans les quatre variations suivantes.

1. a. c :: b. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a::d.c, ce qu'on appelle, invertendo. 3. a+b.b::c+d. d, ce qu'on appelle, componendo. 4. а-b. b :: c - d. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (n°. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront auffi. Or la premiere & la seconde analogie donnent ad=bc, la troifiéme donne ad + bd = bc + bd, & la quatriéme ad -bd=bc-bd:mais l'Hypothese a. b. c.d, donne ad=bc, qui est la premiere équation, & qui montre par consequent la verité des deux premieres analogies.

Si l'on ajoute, & fi l'on soustrait bd de chaque membre de l'équation ad = bc tirez de l'Hypothese, l'on aura ad +bd=bc+bd, & ad -bd = bc - bd, qui font semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

THEOREME III.

32. SI deux grandeurs quelconques a & b, font multipliées par une mème grandeur c, rationnelle, ou irrationnelle, les produits ac & bc, feront en mème raison que les mêmes quantitez a & b.

Il faut prouver que ac. bc :: a. b, ou, afin que la consequence soit en équation, que (no. 29.) abc = abc. Parceque les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no. 29, & 3 1.) que ce qui étoit proposé est vrai.

COROLLAIRES.

1. IL est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, sans que ces raports cessent d'être égaux.

2. Et parceque les raports, ou les divisions indiquées font des fractions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra,

sans que cette fraction change de valeur. Ainfi

en multipliant les deux termes par c.

a

b

ac

bc

3. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien, c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction,

h

dont le dénominateur sera telle quantité qu'on voudra. Ainfi a ou en multipliant chaque terme par b..

a

I

ab

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4. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables, lorsqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination : car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomina

ab

df

tion & , ayant multiplié les deux termes de la pre

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miere par g, & ceux de la seconde par c, l'on aura

abg

cg

& df S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les

cg

deux termes de chacune par le produit des dénominateurs

a

b

C

des autres. Ainsi pour réduire, en même déno.

fg

mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la seconde par dg, & ceux de la troisieme

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dfg dfg dfg

Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, sans les changer toutes d'expression.

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Ainfi & &, feront réduites en même dénomination,

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en multipliant les deux termes de la seconde par d: car l'on aura

dgh

cd

5. Il suit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier son numerateur par la même quan

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A

THEOREME IV.

33. SI l'on divise deux grandeurs quelconques a & b par une meme grandeur c, rationnelle ou irrationnelle ; les quotiens

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=

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, &

b

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C

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= q, que p. q :: a. b, ou afin que la con

sequence soit en équation, que bp=aq.

La premiere équation (Axio. 1. Coroll. 4.) donne a=q, & la feconde, b=cq, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. 1.) acq = bcp, ou en divisant par c, aq=bp; donc (Th 2.)

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a

b

-

C

C

ab

C

La Consequence ✓ :: a.b; donne (Theor. 1.) qui est une équation évidente par elle-même.

ab

= C

2. C'est aussi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus simples exprefsions. Ce qui se fait en divisant l'antecedent & le confequent de chaque raport par une même quantité, que l'on nomme, commun diviseur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la proposée, mais plus simple.

Or il est souvent aisé d'appercevoir ce commun divifeur, & particulierement quand les deux termes du raport que l'on veut réduire sont incomplexes. Mais si on ne l'apperçoit pas par la seule inspection des termes, on cherchera (art. 1. no. 56. ou 57.) tous les diviseurs de l'antecedent, & tous ceux du consequent; & les diviseurs de l'antecedent qui se trouveront aussi parmi ceux du consequent, feront des diviseurs communs ; mais on ne se servira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui se trouve aussi parmi ceux du consequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus simples termes.

EXEMPLES.

aab

ac

ab

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EXEMPLE I. se réduit, ou est égal à en divi sant chaque terme par leur commun diviseur a. Exemple 2. en divisant les parties rationnelles par c, & les irrationnelles par Va. Exemple 3.

abcV-abd
cxVag

abeVabc
cdVb

=

abvbd
xVg

abvac
d

en divisant les parties ra

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= 1, ce que nous avions supposé dans l'endroit que nous venons de citer.

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a

-2

*; donc a ̄*=

I

a

mais (art. 1. no. 22.) ce que nous avions encore supposé au même endroit. Exemple 6. en divisant chaque terme par sb.

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Exemple 8.

aa-bb

a3-b

en divisant chaque terme

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aa-bb

a+b

terme par le commun diviseur a-b.

en divisant chaque

,

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