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=

a xx

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a.x =

duite en proportion, il faut que chaque membre soit le produit de deux quantitez qui se puisle séparer par la division ; c'est pourquoi il est souvent necessaire de la changer d'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx=ax+bb en proportion dans l'état où elle est : car le second membre ne peut être divisé par aucune quantité : mais en transposant , l'on

bb, d'où l'on peut tirer x.b:: b.x- a. De celle-ci xx = aa- bb, on peut tirer a-b.xix.a+b. De celle-ci xx=aa + bb, ou xx — aa=bb, on peut tirer x-1.b:: b.x+a. Mais pour changer celle-ci xx=aa - bc en proportion ; il faut changer bc en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté soit b, ou c; faisant donc, par exemple, bc=dd, l'on aura xx=aa - - dd, d'où l'on tire ad. x :: x.atd. Il en est ainsi des autres.

3°. Il suit aussi qu'un raport ou une frađion comme est un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres : car faisant

= x, l'on aura en multipliant par (, ab=cx; donc ( no. 31.) c.a:: 6.x, ou c.a:: b.

ab

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ab

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C

ab

en

ab

remettant pour x sa valeur

4o. Il suit aussi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, sont proportionnelles, c'està-dire que a. b::c.d, elles seront aussi proportionnelles dans les quatre variations suivantes.

1. a.c:: b.d, ce qu'on appelle , permutando.
2. b.a::d.c, ce qu'on appelle, invertendo.
3. a +6.6::c+did, ce qu'on appelle , componendo.
4. a —b.b::c- d.d, ce qu'on appelle, dividendo.

Car si les équations que l'on tirera (no. 29.) de ces quatre analogies sont vrayes, les analogies le seront aussi. Or la premiere & la seconde analogie donnent ad=bc, la troisiéme donne ad + bd =bc + bd, & la quatrieme ad bd=bc-bd: mais l'Hypothesea.b:ic.d,donne ad=bc,

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A

32.

b, ou,

la con

qui est la premiere équation, & qui montre par consequent la verité des deux premieres analogies.

Si l'on ajoute , & si l'on soustrait bd de chaque membre de l'équation ad=bc tirez de l'Hypothese, l'on aura ad + bd=bc+bd,& ad bd=bc - bd, qui sont semblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par consequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

Τ Η Ε Ο R Ε Μ Ε III. SI I deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une même grandeur c, rationnelle, ou irrationnelle, les produits ac & bc, feront en même raison que les mêmes quantitez a & b. Il faut prouver que ac. bc :: a.

afin

que sequence soit en équation , que (no. 29.) abc =abc.

Parceque les deux membres de cette équation sont semblables, il suit (no. 29, & 31.) que ce qui étoit proposé est vrai.

COROLLA I R E s. Il est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion , ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux consequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, sans que ces raports cessent d'être égaux.

2". Et parceque les raports, ou les divisions indiquées sont des fractions, il suit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, sans que cette fraction change de valeur. Ainsi en multipliant les deux termes par c.

3€. Une quantité quelconque, qui n'est point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien ; c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction,

h

jer.

a

ac

b

bc

a

ab

I

ab

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8

dont le dénominateur sera telle quantité qu'on voudra. Ainsi a ou

en multipliant chaque terme par b. 4°. Il suit aussi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs semblables, lorsqu'elles en ont de diffe. rens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même dénomination : car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainsi pour réduire à même dénomina

df tion & , ayant multiplié les deux termes de la pre

abg miere par g, & ceux de la seconde par c, l'on aura

cdf & S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainsi pour rédựire

pour rédyire - en même déno.

d'

f's mination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la seconde par dg, & ceux de la troisiême

afg bdg cdf par df, l'on aura

dfgdfgdfg Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, sans les changer toutes d'expression. Ainsi

gh

& seront réduites en même dénomination, en multipliant les deux termes de la seconde par d: car

dgh

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cg

b

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abb

>

cd

C

l'on aura

cd

s. Il suit encore que c'est la même chose de diviser le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier son numerateur par la même quanrité. Ainsi

ab

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A

b

с

с

.

THE OR EM E I V. 33. Si l'on divise deux grandeurs quelconques a di b par une mėme grandeur c, rationnelle ou irrationnelle ; les quotiens

& , feront en même raison que les premieres grandeurs a da b.

Il faut prouver que =:: a. b, ou, ayant supposé =p,& =9, que p.q::a.b, ou afin

que sequence soit en équation, que bp=aq.

La premiere équation ( Axio. 1. Coroll.4.) donne a=cp, & la seconde, b=19, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. 1.) acq=bop, ou en divisant par c; aq=bp; donc ( Th 2.) p.q::a. b, ou —.-::. b, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs “ &

C. Q. F. D.

b

la con

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b

b

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C

a

b

ab

ab

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C

On pourroit démontrer ce Theorême en certe sorte. La Consequence ::a.b; donne (Theor. 1.) qui est une équation évidente

par

elle-même.
2". C'est aussi par le moyen de ce Theorême que

l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus simples exprefsions. Ce qui se fait en divisant l'antecedent & le consequent de chaque raport par une même quantité,

que

l'on nomme , commun diviseur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la proposée, mais plus simple.

Or il est souvent aisé d'appercevoir ce commun diviseur , & particulierement quand les deux termes du ra. port que l'on veut réduire sont incomplexes. Mais si on ne l'apperçoit pas par la seule inspection des termes, on cherchera ( art. 1. no. 56. ou 57.) tous les diviseurs de

aab

abvbd

l'antecedent, & tous ceux du consequent ; & les diviseurs de l'antecedent qui se trouveront aussi parmi ceux du consequent , seront des diviseurs communs ; mais on ne se servira

que

du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui se trouve aussi parmi ceux du consequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus simples termes.

E x E M P L E S. EXEM

EMPLE I. se réduir, ou est égal à at en divi. sant chaque terme par leur commun diviseur a.

abcVaba Exemple 2.

en divisant les parties ra

Vg tionnelles par c, & les irrationnelles

par

va. Exemple 3.

en divisant les parties rationnelles par c, & les irrationnelles

par

vb. Exemple 4.

1 = 1, en divisant les deux termes

as par a': Mais (art. 1. no. 22.) =a; donc a =1, ce que nous avions supposé dans l'endroit que nous venons de citer. Exemple s.

en divisant chaque terme par a':

cxVag

aboy abc

abyac

cdvb

d

3

a

as

- 2

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ac

mais (art. 1. no. 22.)

; donc a ce que nous avions encore supposé au même endroit.

2 sab Exemple 6.

en divisant chaque terme par 56. Isbe aac tabc

en divisant chaque terme par leur commun diviseur a +b.

aa + ab + bb Exemple 8.

en divisant chaque

atb terme par le commun diviseur a-b.

Exemple 7.

ad

bb

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