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duite en proportion, il faut que chaque membre foit le produit de deux quantitez qui fe puiffe féparer par la divifion; c'eft pourquoi il est souvent neceffaire de la chand'état pour la réduire en proportion. Par exemple, on ne peut réduire cette équation xx = ax+bb en proportion dans l'état où elle eft : car le fecond membre ne peut être divifé par aucune quantité: mais en tranfpofant, l'on a xx— ax = bb, d'où l'on peut tirer x. b:: b.x-a. De celle-ci xx = aa— bb, bb, on peut tirer ab. xx. a+b. De celle-ci xx=aa+bb, ou xx — aa=bb, on peut tirer · ́x — a . b :: b . x + a. Mais pour changer celle-ci xx=aa be en proportion; il faut changer be en un quarré, ou aa en un rectangle dont un côté foit b, ou c; faifant donc, par exemple, bedd, l'on aura xx = aa— dd, d'où l'on tire ad. x :: x . a + d. Il en eft ainfi des autres.

ab

C

3. Il fuit auffi qu'un raport ou une fraction comme eft un des termes d'une proportion, & renferme les trois autres car faifant = x, l'on aura en multipliant par

c, ab:

ab

=cx ; donc ( no. 31.) c. a :: b. x, ou c. a :: b.

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4. Il fuit auffi des deux Theorêmes précedens que fi quatre grandeurs a, b, c, d, font proportionnelles, c'està-dire que a. b:: c. d, elles feront auffi proportionnelles dans les quatre variations fuivantes.

1. a. cb. d, ce qu'on appelle, permutando. 2. b. a: d. c, ce qu'on appelle, invertendo.

3. a+b.b: c+d.d, ce qu'on appelle, componendo. 4. a - b. b:: c-d. d, ce qu'on appelle, dividendo. Car fi les équations que l'on tirera (no. 29.) de ces quatre analogies font vrayes, les analogies le feront auffi. Or la premiere & la feconde analogie donnent ad = bc, troifiéme donne ad + bd = bc + bd, & la quatriéme ad -bdbc-bd: mais l'Hypothese a. b. c.d,donne ad=bc,

la

qui eft la premiere équation, & qui montre par confequent la verité des deux premieres analogies.

=

Si l'on ajoute, & fi l'on fouftrait bd de chaque membre de l'équation ad bc tirez de l'Hypothefe, l'on aura ad +bd=bc+bd, & ad-bdbc-bd, qui font femblables aux deux dernieres équations tirées des deux dernieres analogies, & qui en font par confequent voir la verité.

Il y a encore d'autres variations dans les proportions que l'on démontrera avec la même facilité.

A

THEOREM E III.

32. SI deux grandeurs quelconques a &b, font multipliées par une même grandeur C, rationnelle, ou irrationnelle, les produits ac & bc, feront en mème raison que les mêmes quantitez a & b.

Il faut prouver que ac. bc:: a. b, ou, afin que la confequence foit en équation, que (no. 29.) abc = abc.

Parceque les deux membres de cette équation font femblables, il fuit (n°. 29, & 3 1.) que ce qui étoit propofé eft vrai.

COROLLAIRES.

zer. Il est clair qu'on peut multiplier les quatre termes d'une proportion, ou l'un ou l'autre des deux raports qui la forment, ou les deux antecedens, ou les deux confequens de ces raports, par telle quantité qu'on voudra, fans que ces raports ceffent d'être égaux.

2. Et parceque les raports, ou les divifions indiquées font des fractions, il fuit qu'on peut multiplier les deux termes d'une fraction par telle quantité qu'on voudra, sans que cette fraction change de valeur. Ainsi

en multipliant les deux termes par c.

a

b

ac

bc

3. Une quantité quelconque, qui n'eft point fractionnaire devient une fraction étant comparée à l'unité, ce qui n'y change rien, c'est pourquoi toute quantité qui n'est point fractionnaire, peut être changée en une fraction,

b

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4. Il fuit auffi qu'on peut donner à des fractions des dénominateurs femblables, lorsqu'elles en ont de differens, ce qu'on appelle réduire les fractions à même déno-· mination: car pour cela, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de chacune par le dénominateur de l'autre, s'il n'y en a que deux. Ainfi pour réduire à même dénomina

ab

df

tion & ayant multiplié les deux termes de la pre

с

g

miere par g,

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S'il y en a un plus grand nombre, on multipliera les

b

d'F' 8

deux termes de chacune par le produit des dénominateurs des autres. Ainfi pour réduire en même dénomination; ayant multiplié les deux termes de la premiere par fg, ceux de la feconde par dg, & ceux de la troisiême afg bdg cdf

par df, l'on aura

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dfg dfg dfg

Il se trouve souvent des fractions que l'on peut réduire à même dénomination, fans les changer toutes d'expression. abb gh

Ainfi & feront réduites en même dénomination,

cd

с

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en multipliant les deux termes de la feconde par d: car

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5. Il fuit encore que c'eft la même chofe de divifer le dénominateur d'une fraction, par une quantité quelconque, ou de multiplier fon numerateur par la même quan

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33. Si l'on divife deux grandeurs quelconques a &b par une mėme grandeur c, rationnelle ou irrationnelle; les quotiens

a

с

b & feront en mème raifon que les premieres grandeurs

a & b.

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Il faut prouver que

p, &

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b

:: a. b, ou, ayant suppose

q, que p. qa. b, ou afin que la con

fequence foit en équation, que bp=ag.

La premiere équation (Axio. 1. Coroll. 4.) donne a=cp, & la feconde, b=cq, d'où l'on tire (Axio. 1. Coroll. i.) acq=bcp, ou en divifant par c, aq=bp; donc (Th 2.)

a b

C

p.q: a. b, ou—. :: a. b, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs & C. Q. F. D.

b

On pourroit démontrer ce Theorême en cette forte.

a

b

La Confequence :: a. b; donne (Theor. 1.)

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C

с

qui eft une équation évidente par elle-même.

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2. C'eft auffi par le moyen de ce Theorême que l'on réduit les raports ou fractions à leurs plus fimples expreffions. Ce qui fe fait en divifant l'antecedent & le confequent de chaque raport par une même quantité, que nomme, commun divifeur, & les deux quotiens forment un autre raport, ou fraction égale à la propofée, mais plus fimple.

Or il eft fouvent aifé d'appercevoir ce commun divifeur, & particulierement quand les deux termes du raport que l'on veut réduire font incomplexes. Mais fi on ne l'apperçoit pas par la feule inspection des termes, on cherchera (art. 1. n°. 56. ou 57.) tous les divifeurs de

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l'antecedent, & tous ceux du confequent; & les divifeurs de l'antecedent qui fe trouveront auffi parmi ceux du confequent, feront des diviseurs communs; mais on ne se fervira que du plus grand: s'il ne s'en trouve aucun parmi ceux de l'antecedent, qui fe trouve auffi parmi ceux du confequent, la fraction ne pourra être réduite à de plus fimples termes.

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= 1, ce que nous avions fuppofé dans l'endroit que nous venons de citer.

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ce que nous avions encore fuppofé au même endroit.

Exemple 6.

25ab
15bc
aac+abc

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Exemple 7.

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en divifant chaque terme

a3 - bi aa+ab+bb

aa-bb

a+b

terme par le commun divifeur a—b.

-b

en divifant chaque

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