b = = P, & с a b a a ab THE O R E ME V. : que la consequence soit en équation, que bp=cq. La premiere supposition donne a = : bp, & la seconde a=cq; donc ( Axio. 3.) bp=1q; & partant (Theor. 2.) p.q::6. 6, ou ::0. 6, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs . &. C. Q. F. D. On pourroit démontrer plus simplement ce Theorême: car la consequence :: 6.6 donne (Theor.1.) ou (art. 1. no. 37.) a=a, oú, ama=0,ou o=0. Th E O R E ME VI. 35. Si trois grandeurs a, b, c, sont en proportion continue, la premiere a, sera à la troisième c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la seconde bb. Il faut prouver que a.c:: aa. bb, ou afin que la consequence soit en équation, que aac= L'on a (Hyp.)a.b::b.c; donc ac=bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F.D. Τ Η Ε ο R Ε Μ Ε VII. 36. LORSQUE plusieurs raports font égaux , comme &c. La somme des antecedens a+c+d, est à la fomme des consequens b + d + e, comme celui qu'on voudra des antecedens, éjt à son consequent. b b A A au ac il faut prouver que a +c+d.b+d+e :: a. b, ou, afin que la consequence soit en équation , que ub+ bc + bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le cerme ab qui se détruit par la réduction, b¢+ bd=ad+ae. Les deux premiers raports égaux ( Hyp. ) donnent 'ad=bc, le premier & le troisiême donnent de=bd; donc ( Axio. j. Coroll. 1.) bc+bd=ad+ae. C. Q. F. D. COROLLA I R E. 37. Il suit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a&b,& le dernier C, d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent : car nommant la somme des antecedens x; la lomme des consequens sera x-a +6. Or par ce Theorême, x.x—a+0::2.6; donc (Theor. 1.) bx = ax — aa+ac; ou, en transposant, & en supposant a> b, ax-bx=aa — ac ; d'où l'on tire (Axio... Cor.s.) Ce qu'il faloit trouver. Si a > b, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie , en faisant, le dernier terme ć= 0, l'on aura x= pour b' leur de tous les termes de la progression : car le terme ac se détruit à cause de c = 0. THE O R E ME Ê ME VIII. 39. La plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisieme grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport & la plus petite b qu'à la plus grande a. Il faut prouver, 10. Que 20. Que => L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe précedent , & ses explications) en divisapt cha ab aa la va b b que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer. L'on a encore ( Hyp.) a > b, donc en multipliant chaque membre de cerce inégalité par c, & divisant chaque membre par ab , l'on aura -> ou (art. 1, no. 37.) ac bc ab ab le pro Ce qu'il faloit en second lieu démontrer, Nous avons supposé dans la Multiplication , & dans la Division, que +*+,&— *— donnoit +; & que + x, ou -*+ donnoit — En voici la preuve , en supposant seulement que + x + donne +, dont personne ne doute. 39. Soit a bà multiplier par + c. Je dis que duit sera ac — bc: car ayant supposé amb=p;l'on aura en transposant P +6,& multipliant cette équation par +c, l'on aura ac=pc+ bc ; donc en transposant, ac -bc=pc; donc a - 6x += ac bc. 40. Soit presentement a-bà multiplier par -- c. Je dis que le produit sera - ac + bc : car ayant supposé à - 6 =p, l'on aura en transposant a =p+b; done en mul. c, l'on aura (no. 39:) - ac=-pc-bc, ou ac + bc =- po; donc a -bx-=-ac+bc. 41. Je dis aussi que -- 6: car le produit du diviseur par le quotient, doit donner le dividende , ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +6: car-ax+6 ab, qui n'est point le dividende. Au contraire ax-b=+ ab, qui est la quantité à diviser, i 42. Il est de-là évident quel'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs. REMARQUE. 10. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens , & lur les quatre' premiers Theore. cipliant par ab ab - ab à , puisque dans mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprierez des raports égaux, & inégaux, des proportions , & des progressions geometriques. 2°. L'on remarquera ausli qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques. 3o. Que ľ’équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus sim. ples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir, Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser , & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite fans chan. ger aucun signe ; & pour les soustraire , on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit ( art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables , on prendra pour la somme , ou pour la difference , celles des deux expressions qui sera la plus simple. ". E-X EMP LE S. avec Pour ajouter abad aab4 ter avec l'on écrira at - 2aabb + 6 ou après les ayoir réduites en même déno.66 mination ab ad l'on aura Pour ajou C 44 (art. 1.no.11.) azaabb + b* aabt + a'bb aabt at bb mination, at - 2aabb tbt ab aq bb Pour soustraire de l'on écrira C-d ab ou, après leur avoir donné un même dénominateur d aac bbc — aad + bbd - abc La premiere expression est la plus cd simple. MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l’un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit à multiplier par ä. Ayant supposó 9. Il faut prouver que =P = d La premiere supposition donne ac =bp, & la seconde , bc = dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc bdpq; donc ( Axio. 1. Coroll. s. ) =Pq= C. l. F.D. De même xbt ou ( Theor. 3. Coroll. 3. ) ac bc ас b b bc abcc acc bd abcc acc bd d ab 45. Le produit de deux raports & j; bd est appellé raport composé , ou raison composée ; & le produit d'un raport , multiplié par lui-même , est appellé raport doublé, ou raison doublée, |