페이지 이미지
PDF
ePub
[ocr errors]

b

[ocr errors]

=

= P, &

с

a

b

a

a

ab

[ocr errors]

THE O R E ME V.
34. Si l'on divise une mème quantité a, par des quantitez
differentes bec, les quotiens seront reciproquement propor-
tionnels à leurs diviseurs.
Il faut prouver que -.-::c.6, ou, ayant supposé -

:
9, que p.9 :: 6.6, ou afin

que

la consequence soit en équation, que bp=cq.

La premiere supposition donne a = : bp, & la seconde a=cq; donc ( Axio. 3.) bp=1q; & partant (Theor. 2.) p.q::6. 6, ou

::0. 6, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs . &. C. Q. F. D.

On pourroit démontrer plus simplement ce Theorême: car la consequence :: 6.6 donne (Theor.1.) ou (art. 1. no. 37.) a=a, oú, ama=0,ou o=0.

Th E O R E ME VI. 35. Si trois grandeurs a, b, c, sont en proportion continue, la premiere a, sera à la troisième c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la seconde bb.

Il faut prouver que a.c:: aa. bb, ou afin que la consequence soit en équation, que aac=

L'on a (Hyp.)a.b::b.c; donc ac=bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F.D.

Τ Η Ε ο R Ε Μ Ε VII. 36. LORSQUE plusieurs raports font égaux , comme

&c. La somme des antecedens a+c+d, est à la fomme des consequens b + d + e, comme celui qu'on voudra des antecedens, éjt à son consequent.

b

b

A

[ocr errors]
[ocr errors]

A

[merged small][merged small][merged small][ocr errors]

au ac

il faut prouver que a +c+d.b+d+e :: a. b, ou, afin que la consequence soit en équation , que ub+ bc + bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le cerme ab qui se détruit par la réduction, b¢+ bd=ad+ae.

Les deux premiers raports égaux ( Hyp. ) donnent 'ad=bc, le premier & le troisiême donnent de=bd; donc ( Axio. j. Coroll. 1.) bc+bd=ad+ae. C. Q. F. D.

COROLLA I R E. 37. Il suit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a&b,& le dernier

C,

d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent : car nommant la somme des antecedens x; la lomme des consequens sera x-a +6. Or par ce Theorême, x.x—a+0::2.6; donc (Theor. 1.) bx = ax — aa+ac; ou, en transposant, & en supposant a> b, ax-bx=aa — ac ; d'où l'on tire (Axio... Cor.s.)

Ce qu'il faloit trouver. Si a > b, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie , en faisant, le dernier terme ć= 0, l'on aura x= pour

b' leur de tous les termes de la progression : car le terme ac se détruit à cause de c = 0. THE O R E ME

Ê ME VIII. 39. La plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisieme grandeur c que la plus petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport & la plus petite b qu'à la plus grande a.

Il faut prouver, 10. Que 20. Que =>

L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe précedent , & ses explications) en divisapt cha

ab

aa

la va

b

[ocr errors]
[ocr errors]

b

que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer.

L'on a encore ( Hyp.) a > b, donc en multipliant chaque membre de cerce inégalité par c, & divisant chaque membre par ab , l'on aura -> ou (art. 1, no. 37.)

ac

bc

ab

ab

[ocr errors]
[ocr errors]

le pro

[ocr errors]

Ce qu'il faloit en second lieu démontrer, Nous avons supposé dans la Multiplication , & dans la Division, que +*+,&— *— donnoit +; & que + x, ou -*+ donnoit — En voici la preuve , en supposant seulement que + x + donne +, dont personne ne doute. 39. Soit a bà multiplier par + c. Je dis

que duit sera ac bc: car ayant supposé amb=p;l'on aura en transposant P +6,& multipliant cette équation par +c, l'on aura ac=pc+ bc ; donc en transposant, ac -bc=pc; donc a - 6x += ac bc.

40. Soit presentement a-bà multiplier par -- c. Je dis que le produit sera

- ac + bc : car ayant supposé à - 6 =p, l'on aura en transposant a =p+b; done en mul.

c, l'on aura (no. 39:) - ac=-pc-bc, ou ac + bc =- po; donc a -bx-=-ac+bc. 41. Je dis aussi

que

-- 6: car le produit du diviseur

par le quotient, doit donner le dividende , ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +6: car-ax+6

ab, qui n'est point le dividende. Au contraire ax-b=+ ab, qui est la quantité à diviser, i 42. Il est de-là évident

quel'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs.

REMARQUE. 10. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens , & lur les quatre' premiers Theore.

cipliant par

ab

ab

- ab

[ocr errors]

à , puisque dans

[ocr errors]

mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprierez des raports égaux, & inégaux, des proportions , & des progressions geometriques.

2°. L'on remarquera ausli qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques.

3o. Que ľ’équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus sim. ples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant vraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir,

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser , & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION

ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite fans chan. ger aucun signe ; & pour les soustraire , on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominateur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit ( art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas,

les numerateurs semblables , on prendra pour la somme , ou pour la difference , celles des deux expressions qui sera la plus simple. ".

E-X EMP LE S.

avec Pour ajouter

abad
aab4
nabb

aab4 ter

avec

l'on écrira
a4 - 2aabb + 6+
44 - bb

at - 2aabb + 6
aabb

ou après les ayoir réduites en même déno.66

mination

[ocr errors]
[ocr errors]

ab

ad

l'on aura

Pour ajou

[ocr errors]
[ocr errors]

C

44

(art. 1.no.11.) azaabb + b*

[ocr errors]

aabt + a'bb aabt

at bb mination,

at - 2aabb tbt
qui est une expression plus simple que la premiere.

ab
bb

aq bb Pour soustraire de

l'on écrira C-d ab

ou, après leur avoir donné un même dénominateur d aac bbc aad + bbd - abc

La premiere expression est la plus cd simple.

MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l’un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit à multiplier par ä. Ayant supposó 9. Il faut prouver que =P =

d La premiere supposition donne ac =bp, & la seconde , bc = dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc bdpq; donc ( Axio. 1. Coroll. s. ) =Pq= C. l. F.D. De même xbt ou ( Theor. 3. Coroll. 3. )

ac

bc

ас

[ocr errors]
[ocr errors]

b

b

bc

abcc

acc

[ocr errors]

bd

abcc

acc

bd

d

[blocks in formation]

ab

[ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

45. Le produit de deux

raports
differens

& j; bd est appellé raport composé , ou raison composée ; & le produit

d'un raport , multiplié par lui-même , est appellé raport doublé, ou raison doublée,

[merged small][merged small][merged small][ocr errors]
« 이전계속 »