페이지 이미지
PDF
ePub
[ocr errors]

b

[ocr errors]

=

= P, &

b

a

ab

THE O R E ME V.
34. Si l'on divise une mème quantité a, par des quantitez
differentes bec, les quotiens seront reciproquement propor-
tionnels à leurs diviseurs.
Il faut prouver que -.-::c.6, ou, ayant supposé -

:
9, que p.9 :: 6.6, ou afin

que

la consequence soit en équation, que bp=cq.

La premiere supposition donne a = : bp, & la seconde a=cq; donc ( Axio. 3.) bp=1q; & partant (Theor. 2.) p.q::6. 6, ou

::0. 6, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs . &. C. Q. F. D.

On pourroit démontrer plus simplement ce Theorême: car la consequence :: 6.6 donne (Theor.1.) ou (art. 1. no. 37.) a=a, oú, ama=0,ou o=0.

Th E O R E ME VI. 35. Si trois grandeurs a, b, c, sont en proportion continue, la premiere a, sera à la troisième c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la seconde bb.

Il faut prouver que a.c:: aa. bb, ou afin que la consequence soit en équation, que aac=

L'on a (Hyp.)a.b::b.c; donc ac=bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F.D.

Τ Η Ε ο R Ε Μ Ε VII. 36. LORSQUE plusieurs raports font égaux , comme

&c. La somme des antecedens a+c+d, est à la fomme des consequens b + d + e, comme celui qu'on voudra des antecedens, éjt à son consequent.

b

b

A

[ocr errors]
[ocr errors]

A

a

b

d

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

au ac

Il faut prouver que a +c+d. 6+d+e:: a. 6, ou, afin que la consequence soit en équation , que ub+ bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui se détruit par la réduction, b¢+ bd=ad+ae.

Les deux premiers raports égaux ( Hyp. ) donnent 'ad=bc, le premier & le troisiême donnent de=bd; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) bc+bd=ad+ae. C. Q. F. D.

COROLLA I R E. 37. Il suit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b,& le dernier

d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent : car nommant la somme des antecedens x; la lomme des consequens sera x-a+c. Or par ce Theorême, x. x—a+c::a.b; donc (Theor. 1.) bx = ax — aa+ac; ou, en transposant, & en supposant a> b, axbx=aa — ac; d'où l'on tire (Axio.1. Cor.s.)

Ce qu'il faloit trouver. Si a > b, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie , en faisant, le dernier terme ć=0, l'on aura x=

pour

b' leur de tous les termes de la progression: car le terme ac se détruit à cause de c = 0. THE O R E ME

Ê ME VIII. 3. La plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisieme grandeur c que petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport & la plus petite b qu’à la plus grande a.

Il faut prouver, 10. Que 2°. Que =>

L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe précedent , & ses explications) en divisapt cha

ab

aa

la va

la plus

b

[ocr errors]
[ocr errors]

b

que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer.

L'on a encore ( Hyp.) a > b, donc en multipliant chaque membre de cerce inégalité par c, & divisant chaque membre par ab , l'on aura -> ou (art. 1, no. 37.)

ac

bc

ab

ab

[ocr errors]
[ocr errors]

le pro

Ce qu'il faloit en second lieu démontrer, Nous avons supposé dans la Multiplication , & dans la Division, que +*+,&— *— donnoit +; & que + x, ou -*+ donnoit — En voici la preuve , en supposant seulement que + x + donne +, dont personne ne doute. 39. Soit a bà multiplier par + c. Je dis

que duit sera ac bc: car ayant supposé amb=p;l'on aura en transposant P +6,& multipliant cette équation par +c, l'on aura ac=pc+ bc ; donc en transposant, ac -bc=pc; donc a - 6x += ac bc.

40. Soit presentement a-bà multiplier par -- c. Je dis que le produit sera

- ac + bc : car ayant supposé à - 6 =p, l'on aura en transposant a =p+b; done en mul.

c, l'on aura (no. 39:) - ac=-pc-bc, ou ac + bc = po; donc a -bx-=-ac+bc. 41. Je dis aussi

que

-- 6: car le produit du diviseur

par le quotient, doit donner le dividende , ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +6: car-ax+6

ab, qui n'est point le dividende. Au contraire ax-b=+ ab, qui est la quantité à diviser, i 42. Il est de-là évident

quel'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs.

REMARQUE. 10. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens , & lur les quatre' premiers Theore.

cipliant par

ab

ab

- ab

[ocr errors]

à , puisque dans

mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprierez des raports égaux, & inégaux, des proportions , & des progressions geometriques.

20. L'on remarquera ausli qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques.

3o. Que ľ’équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus sim. ples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant yraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir,

Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser , & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION

ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite sans chan. ger aucun signe ; & pour les soustraire, on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que

leur dénominaceur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit ( art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas,

les numerateurs semblables , on prendra pour la somme , ou pour la difference , celles des deux expressions qui sera la plus simple. sos!

E-X EMP LE S. Pour ajouter

avec

ab + ad
aab4
nabb

aab4 ter

avec

l'on écrira
a4 - 2aabb + 6+
44 - bb

at - 2aabb + 6*
aabb

ou après les avoir réduites en même déno.66

mination

[ocr errors]
[ocr errors]

ab

ad

l'on aura

Pour ajou

[ocr errors]
[ocr errors]

C

(art. 1.no.11.) azaabb + b*

ab

d

aac

aabt + a'bb aabt

at bb mination,

at - 2aabb tbt qui est une expression plus simple que la premiere.

bb

aq bb Pour soustraire de

l'on écrira C-d ab

ou, après leur avoir donné un même dénominateur bbc aad + bbd - abc

La premiere expression est la plus cd simple.

MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l’un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit à multiplier par ä. Ayant supposó 9. Il faut prouver que =P =

d La premiere supposition donne ac =bp, & la seconde , bc = dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc bdpq; donc ( Axio. 1. Coroll. s. ) =Pq= C. l. F.D. De même xbt ou ( Theor. 3. Coroll. 3. )

ac

bc

ас

[ocr errors]
[ocr errors]

b

bc

abcc

acc

[ocr errors]

bd

abcc

acc

bd

d

[blocks in formation]

ab

G

[merged small][merged small][ocr errors]

en divisant les deux

bc

[blocks in formation]

45. Le produit de deux

raports
differens

& j; bd est appellé raport composé , ou raison composée ; & le produit

d'un raport , multiplié par lui-même , est appellé raport doublé, ou raison doublée,

[merged small][merged small][merged small][ocr errors]
« 이전계속 »