b = = P, & b a ab THE O R E ME V. : que la consequence soit en équation, que bp=cq. La premiere supposition donne a = : bp, & la seconde a=cq; donc ( Axio. 3.) bp=1q; & partant (Theor. 2.) p.q::6. 6, ou ::0. 6, en remettant pour p, & pour q, leurs valeurs . &. C. Q. F. D. On pourroit démontrer plus simplement ce Theorême: car la consequence :: 6.6 donne (Theor.1.) ou (art. 1. no. 37.) a=a, oú, ama=0,ou o=0. Th E O R E ME VI. 35. Si trois grandeurs a, b, c, sont en proportion continue, la premiere a, sera à la troisième c, comme le quarré de la premiere aa, au quarré de la seconde bb. Il faut prouver que a.c:: aa. bb, ou afin que la consequence soit en équation, que aac= L'on a (Hyp.)a.b::b.c; donc ac=bb, & partant aac =abb en multipliant chaque membre par a. C. Q. F.D. Τ Η Ε ο R Ε Μ Ε VII. 36. LORSQUE plusieurs raports font égaux , comme &c. La somme des antecedens a+c+d, est à la fomme des consequens b + d + e, comme celui qu'on voudra des antecedens, éjt à son consequent. b b A A a b d au ac Il faut prouver que a +c+d. 6+d+e:: a. 6, ou, afin que la consequence soit en équation , que ub+ bc +bd=ab+ad+ae, ou en ôtant de part & d'autre le terme ab qui se détruit par la réduction, b¢+ bd=ad+ae. Les deux premiers raports égaux ( Hyp. ) donnent 'ad=bc, le premier & le troisiême donnent de=bd; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) bc+bd=ad+ae. C. Q. F. D. COROLLA I R E. 37. Il suit de ce Theorême, que connoissant les deux premiers termes a & b,& le dernier d'une progression geometrique, on trouvera aisément la somme de tous les termes qui la composent : car nommant la somme des antecedens x; la lomme des consequens sera x-a+c. Or par ce Theorême, x. x—a+c::a.b; donc (Theor. 1.) bx = ax — aa+ac; ou, en transposant, & en supposant a> b, ax—bx=aa — ac; d'où l'on tire (Axio.1. Cor.s.) Ce qu'il faloit trouver. Si a > b, ou ce qui est la même chose, si la progression va en diminuant, & qu'on la suppose infinie , en faisant, le dernier terme ć=0, l'on aura x= pour b' leur de tous les termes de la progression: car le terme ac se détruit à cause de c = 0. THE O R E ME Ê ME VIII. 3. La plus grande a de deux quantitez inégales a & ba un plus grand rapport à une troisieme grandeur c que petite b; & la même grandeur c, a un plus grand raport & la plus petite b qu’à la plus grande a. Il faut prouver, 10. Que 2°. Que => L'on a par l'Hyp. a> b; donc (par le principe précedent , & ses explications) en divisapt cha ab aa la va la plus b b que membre de cette inégalité par c. Ce qu'il faloit premierement démontrer. L'on a encore ( Hyp.) a > b, donc en multipliant chaque membre de cerce inégalité par c, & divisant chaque membre par ab , l'on aura -> ou (art. 1, no. 37.) ac bc ab ab le pro Ce qu'il faloit en second lieu démontrer, Nous avons supposé dans la Multiplication , & dans la Division, que +*+,&— *— donnoit +; & que + x, ou -*+ donnoit — En voici la preuve , en supposant seulement que + x + donne +, dont personne ne doute. 39. Soit a bà multiplier par + c. Je dis que duit sera ac — bc: car ayant supposé amb=p;l'on aura en transposant P +6,& multipliant cette équation par +c, l'on aura ac=pc+ bc ; donc en transposant, ac -bc=pc; donc a - 6x += ac bc. 40. Soit presentement a-bà multiplier par -- c. Je dis que le produit sera - ac + bc : car ayant supposé à - 6 =p, l'on aura en transposant a =p+b; done en mul. c, l'on aura (no. 39:) - ac=-pc-bc, ou ac + bc = po; donc a -bx-=-ac+bc. 41. Je dis aussi que -- 6: car le produit du diviseur par le quotient, doit donner le dividende , ce qui n'arriveroit pas si le quotient étoit +6: car-ax+6 ab, qui n'est point le dividende. Au contraire ax-b=+ ab, qui est la quantité à diviser, i 42. Il est de-là évident quel'un & dans l'autre cas, le quotient doit être négatif, ce que nous avons aussi supposé ailleurs. REMARQUE. 10. Tout le Calcul algebrique est fondé sur les trois Axiomes précedens , & lur les quatre' premiers Theore. cipliant par ab ab - ab à , puisque dans mes que l'on vient de démontrer. On n'a démontré les quatre derniers que pour faire voir l'usage de notre principe, & que par son moyen, on peut démontrer d'une maniere qui est toujours la même, toutes les proprierez des raports égaux, & inégaux, des proportions , & des progressions geometriques. 20. L'on remarquera ausli qu'en suivant le même principe, l'on démontrera avec la même facilité toutes les proprietez des raports, proportions,& progressions arithmetiques. 3o. Que ľ’équation qui exprime la consequence ou la verité que l'on veut démontrer, peut toujours être délivrée de fractions, de signes radicaux, & réduite à ses plus sim. ples termes, avant que de chercher à lui rendre semblable celle qui renferme l'Hypothese : car une équation étant yraye dans un état, elle le sera dans tous ceux qu'elle est capable de recevoir, Il s'agit presentement d'ajouter, soustraire, multiplier, diviser , & extraire les racines des raports, ou fractions. ADDITION ET SOUSTRACTION. 43. Pour les ajouter, on les écrira de suite sans chan. ger aucun signe ; & pour les soustraire, on les écrira de suite en changeant les signes de celles qui doivent être soustraites, soit que leur dénominaceur soit le même, ou non. On leur donnera ensuite un même dénominateur ; & après avoir réduit ( art. 1. no. 11.) dans l'un & l'autre cas, les numerateurs semblables , on prendra pour la somme , ou pour la difference , celles des deux expressions qui sera la plus simple. sos! E-X EMP LE S. Pour ajouter avec ab + ad aab4 ter avec l'on écrira at - 2aabb + 6* ou après les avoir réduites en même déno.66 mination ab ad l'on aura Pour ajou C (art. 1.no.11.) azaabb + b* ab d aac aabt + a'bb aabt at bb mination, at - 2aabb tbt qui est une expression plus simple que la premiere. bb aq bb Pour soustraire de l'on écrira C-d ab ou, après leur avoir donné un même dénominateur bbc — aad + bbd - abc La premiere expression est la plus cd simple. MULTIPLICATION. 44. ON multipliera les numerateurs, & ensuite les dénominateurs l’un par l'autre; & les deux produits formeront une fraction que l'on réduira à son expression la plus simple. Soit à multiplier par ä. Ayant supposó 9. Il faut prouver que =P = d La premiere supposition donne ac =bp, & la seconde , bc = dq; donc ( Axio. 1. Coroll. 1.) abcc bdpq; donc ( Axio. 1. Coroll. s. ) =Pq= C. l. F.D. De même xbt ou ( Theor. 3. Coroll. 3. ) ac bc ас b bc abcc acc bd abcc acc bd d ab G en divisant les deux bc 45. Le produit de deux raports & j; bd est appellé raport composé , ou raison composée ; & le produit d'un raport , multiplié par lui-même , est appellé raport doublé, ou raison doublée, |