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DIVISION.

46. LE produit du numerateur du dividende par le dénominateur du divifeur fera le numerateur du quotient, & le produit du dénominateur du dividende le numerateur du diviseur, fera le dénominateur du quotient. On réduira enfuite le quotient à fon expreffion la plus fimple.

par

ab

ac

Soit propofé le raport à divifer par. Ayant

C

ac

supposé == p, & == q. Il faut prouver que

bb

Сс

La premiere fuppofition donne ab

abb

cp; la feconde,

ab

ср

ac=bq; donc (Axio. 1. Coroll. 1. )

-= , ou, en mul

Ac

bq

tipliant chaque membre par b, & divifant chaque membre

66

par c,

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Сс

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C. Q. F. D.

acb

-=
acc

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ac

ac

De même — divisé par d, ou par —, donne —.

b

bd

EXTRACTION

Des racines des quantitez fractionnaires.

47. IL eft clair par les regles de la multiplication des fractions, que pour extraire leurs racines, il n'y a qu'à extraire celle du numerateur & celle du dénominateur, & ces deux racines formeront une fraction, qui fera la Sabbc aVzac bV sac racine de la propofée. Ainfi v en eft ainfi des autres.

Il

4bcc

2cV6

Les mêmes operations fur les fractions irrationnelles n'ont rien de particulier.

Fin de l'Introduction.

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Vb

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APPLICATION

DE.

L'ALGEBRE

I. F.

A LA GEOMETRIE

I.

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SECTION

PREMIERE.

Où l'on donne les définitions & les principes generaux qui fervent pour refoudre les Problêmes, &

démontrer les Theorêmes de Geometrie.

DEFINITIONS.

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L y a deux fortes de propofitions dans la
Geometrie, aufquelles on peut appliquer
l'Algebre, qui font les Theorêmes & les
Problêmes.

1. Les Theorêmes font des propofitions qui contiennent des veritez Geometriques qui ne dépendent d'aucune operation, & qu'il faut feulement démontrer.

A

2. Les Problêmes font d'autres propofitions qui demandent que l'on faffe quelque operation, & que l'on démontre que l'operation que l'on a faite, fatisfait à la queftion. Ce qui s'appelle refoudre le Problême.

Il y a des Problêmes déterminez, & d'autres indéterminez.

"

3. Les Problêmes déterminez font ceux qui n'ont qu'une feule folution, ou qu'un nombre déterminé de folutions. Si l'on propofe, par exemple, de couper une ligne donnée en deux également, on voit clairement que ce Problême ne peut avoir qu'une feule folution; mais fi l'on FIG. 1. propofe de couper une ligne donnée AB en un point C, en forte que le rectangle AC x CB foit égal au quarré d'une autre ligne donnée EF; il eft clair que ce Problême peut avoir deux folutions, & qu'il n'en peut pas avoir davantage: car fi après avoir trouvé le point C qui fatisfait à la queftion, on la coupe encore en un autre point D qui foit autant éloigné de A que C l'eft de B, le rectangle AD × DB fera égal au rectangle AC x CB puifque AD = CB, & AC=DB. Il eft aifé de voir qu'il n'y a point d'autre point qui puiffe fatisfaire au Problême..

4. Les Problêmes indéterminez font ceux qui ont une infinité de folutions: comme fi l'on propofe de divifer une ligne donnée en deux parties fans y admettre aucune autre condition, il eft évident que tous les points de cette ligne fatisfont au Problême. De même fi l'on propose de trouver deux lignes dont le raport foit égal à celui de deux autres lignes données; l'on voit évidemment que les deux lignes que l'on cherche, peuvent être prifes d'une infinité de grandeurs differentes, & qui auront toujours entr'elles le même raport. Semblablement.

FIG. 2. 5. Si l'on demande de trouver un point B fur la circonference d'un demi cercle ABC, en forte que la perpendiculaire BH, menée du point cherché B fur le diametre AC foit moyenne proportionnelle entre les parties AH & HC du diametre AC. On fçait que tous les points de la circonference ont cette proprieté, c'est-à-dire que toutes

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les perpendiculaires, comme BH font moyennes proportionnelles entre AH & HC en quelqu'endroit que l'on prenne le point B.

DEFINITION.

6 LES lignes droites ou courbes qui renferment, ou fur lefquelles font tous les points qui refolvent un Problême indéterminé, font appellez lieux Geometriques. Ainfi la dẹmi circonference ABC eft le lieu qui contient tous les FIG. 2. points B, d'où l'on peut tirer des perpendiculaires BH moyennes proportionnelles entre AH, & HC.

AVERTISSEMENT.

7. Quoique l'on fe propofe ici de donner la maniere de démontrer les Theorèmes de Geometrie par le moyen de l'Alge bre; il ne faut pas entendre cela fi generalement qu'il n'y en ait quelques-uns d'exceptez: car il y en a d'Elementaires où l' ALgebre n'a point de prife. On ne peut, par exemple, démontrer par Algebre que les cotez homologues des triangles femblables font proportionnels. Il en eft de meme de plufieurs autres ; & c'est particulierement de ces deux Theorèmes que l'Algebre a befain, &par le moyen defquels on vient à bout de tout, comme on verra dans toute l'étendue de cet Ouvrage. Soit qu'il s'agiffe de refoudre un Problème, où de démontrer un Theorème de Geomerie par le moyen de l'Algebre, il est toujours neceffaire de trouver des équations & pour ce fujet il faut nommer toutes les lignes connues & inconnues qui y peuvent fervir, par des lettres de

Alphabet, avec cette difference que l'on nommera les données ou connues, ou déterminées, ou conftantes par les premieres a, b, c, d, &c. & les inconnues on indéterminées, ou variables par les dernieres, r, s, t, u, x, y, z. sy decora Et parcequ'il y a fouvent plufieurs chemins pour trouver les équations neceffaires pour la démonftration d'un Theoreme, ou pour la réfolution d'un Probleme, on pourroit prendre celui qui Se prefenteroit le premier s'ils conduifoient tous à des équations également fimples, & d'où l'on put tirer des constructions également élegantes: mais comme l'on arrive quelquefois à dés équa

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tions très-compofées, en fuivant certaines routes, & que l'on arriveroit à de très-fimples en en fuivant d'autres ; il s'enfuitque lorfqu'on ne trouve pas les premieres équations aufquelles on eft parvenu par les premieres fuppofitions, affez fimples, il en faut chercher d'autres par d'autres voyes, & ne fe point rebuter: car lorfqu'un Problème eft fimple de fa nature, on trouve ordinairement des équations fimples pour le refoudre : mais parceque pour trouver des équations fimples, cela dépend particulierement des lignes que l'on nomme par des lettres inconnues, c'est-à-dire, qu'en nommant certaines lignes par des lettres inconnues, on arrive à des équations très composées, au lieu qu'en en nommant d'autres par les mêmes lettres inconnues, on arrive fouvent à des équations très-fimples.

8. On ne peut donner de regles précises pour déterminer parmi les lignes inconnues celles que l'on doit nommer par des lettres inconnues, pour parvenir aux équations les plus fimples, ni pour tirer certaines lignes qui font neceffaires tant pour la démonftration des Theoremes, que pour la refolution des Problèmes, mais l'on peut faire certaines remarques, & établir certains principes qui ne laiffent pas d'avoir un grand ufage dans l'un & l'autre cas. On les trouvera ailleurs.

PRINCIPES

GENERAUX

Pour appliquer l'Algebre à la Geometrie.

La

ORSQU'IL S'agit de refoudre un Problême, ou de démontrer un Theorême de Geometrie, on doit premierement bien entendre ce dont il s'agit, c'està-dire l'état de la question, & bien remarquer les qualitez des lignes qui doivent former la figure fur laquelle on doit operer: car il y a des lignes données de pofition feulement; d'autres données de grandeur, & de pofition tout ensemble; d'autres données de grandeur, & non de position; & d'autres enfin qui ne font données ni de grandeur, ni de pofition.

ii.

1. Les lignes données de pofition feulement, font celles dont la fituation eft invariable & toujours la même, mais

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