CHAPITRE TROISIEME.

De la Réfolution Graphique ou Géométrique des Triangles Sphériques quelconques.

Obfervation fur la nature de ces Solutions. 184.LES GEOMETRES font ordinairement peu de

cas des Solutions Graphiques ou Géométriques, furtout depuis l'invention des Logarithmes; attendu la fimplicité dont les folutions numériques font devenues fufceptibles par ce moyen ; & qu'on obtient d'ailleurs une précifion beaucoup plus grande, parce que dans les conftructions dont nous parlons, cette précision dépend à la fois de l'adreffe de celui qui conftruit, & de la bonté des inftruments avec lefquels il opere. J'aurois donc fupprimé cette partie fans les confidérations fuivantes.

1o. Les folutions Géométriques quoique peu exactes pour les raifons qu'on vient d'expofer, n'en font pas moins rigoureuses aux yeux de l'efprit,étant appuyées fur les vérités les plus connues de la Géometrie. 2°. Il est des cas où l'on n'a pas befoin de toute la précision du calcul; comme lorfqu'il s'agit d'orienter un plan ou une allée par quelques obfervations faites à la hâte, ce qui peut avoir lieu affez fouvent dans la Gnomonique, pour fe guider à une opération plus parfaite ; ces opérations étant d'ailleurs très-commodes par la facilité de les pratiquer. 3°. Il y a dans l'Aftronomie des Théories fondées fur ces folutions: on peut les employer avec fuccès dans certaines pratiques du pilotage. Enfin elles peuvent

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guider dans un calcul où l'on craindroit de fe tromper & fi l'on y applique l'analyfe algébrique, on découvre un très-grand nombre de nouvelles folutions qui éclairent cette partie, & conduifent à des folutions très-élégantes d'Aftronomie pratique, lefquelles feroient devenues trèscompliquées par d'autres méthodes; comme nous tâcherons de le prouver par des applications à différents Problêmes. Ces formules comparées avec les folutions fynthétiques font voir des différences remarquables entre la fynthese & l'analyfe; elles fervent à exercer les Commençants fur cette partie, en leur donnant le moyen de trouver des folutions déduites des confidérations Géométriques. J'ajouterai encore que ces formules fe trouvent démontrées d'une maniere bien plus fimple & bien plus élégante, lorfque les calculs font appuyés fur une conftruction Géométrique que par des fubftitutions purement algébriques; ce que l'on reconnoîtra aifément, fi l'on compare mes folutions avec celles que M. de la Caille a donné des mêmes formules.

185. Connoiffant les deux côtés AB, AC(fig. 17.) d'un triangle sphérique BAC & l'angle A qu'ils prennent; trouver 1°, un des angles fur la bafe; 2°, cette bafe ou le troifieme côté BC.

SOLUTION.

Sur le plan du cercle ABRDr(fig.17) foit pris l'arc AB 'égal à l'un des côtés donnés de l'angle BAC; & foient tirés au centre G les rayons AG & BG, par lequel foit encore mené le diametre r GR perpendiculaire au rayon AG; foient auffi pris de part & d'autre du point A les arcs AL, Al chacun égal au côté donné AC,& foit tirée par les extrémités de ces arcs la corde Ll. Soit de plus fait au centre G l'angle DGR égal à l'angle donné BAC; enfin ayant abaiffé du point D la perpendiculaire Dd au

diametre Rr, fi l'on prend CH quatrieme proportionnelle aux lignes rG, dG, lH, le point C fera, comme on l'a vu (n°. 161) la projection de l'angle C. Cela pofé, pour avoir l'un des angles, B par exemple; du point trouvé C on menera au rayon GB la perpendiculaire fCXF; enfuite ayant mené le diametre MGm perpendiculaire au rayon GB, l'on fera Xf: XC:: GM: Gn; par le point n ainfi déterminé, l'on menera la ligne nN perpendiculaire à GM & terminée à la circonférence en N, l'arc MN fera la mefure de l'angle B. L'angle C fe trouveroit, par une opération abfolument femblable, en prenant AC fur le plan du cercle ABRa au lieu de l'arc AB. C. Q. F. 1°. T.

2o. Pour avoir le troifieme côté BC, il eft visible qu'il est égal à l'un des arcs BF ou Bf; puifque les arcs Bf, BC, BF font tous d'un même nombre de degrés étant tous compris entre le même point B & un petit cercle perpendiculaire au rayon GB. C. Q. F. 2°. T.

PREMIER SCHOLIE.

186. La démonstration de cette conftruction est une fuite évidente de la nature de la projection dont on fe fert ici, & que nous avons déja expliqué au n°.161. Si l'on ne veut pas recommencer l'opération pour trouver l'angle C, on pourra le découvrir aifément de la maniere fuivante que nous ne ferons qu'indiquer, pour ne point trop multiplier les figures. Par les extrémités L, F des arcs AL, BF refpectivement égaux aux côtés AC & BC, l'on menera les tangentes de ces arcs terminées aux rayons AG & BG prolongés autant qu'il fera néceffaire. De ces points comme centre avec les mêmes tangentes comme rayons, l'on décrira deux arcs de cercle qui fe couperont en un point duquel on tirera à ces mêmes centres les rayons qui feront entr'eux un angle égal à l'angle C. Cette construction eft une fuite évidente de ce que l'angle de deux plans eft le même que celui qui

eft formé

par deux lignes perpendiculaires à l'interfection commune, comme le font ici les tangentes des arcs AC & BC.

SECOND SCHOLIE.

187. Ayant pris comme ci-devant les arcs AL, At chacun égal au côté AC, on peut encore trouver la projection de l'angle C de la maniere fuivante, fans employer les proportionnelles. Pour cela du point H comme centre avec le rayon HL, on décrira un demicercle Lcl; au même point H avec le rayon HL, on fera un angle LHc égal à l'angle donné BAC; & du point c où le rayon Hc coupe la circonférence, on abaiffera la perpendiculaire cC au diametre IL, & le point C fera la projection cherchée de l'angle C du triangle BAC. Si l'angle en A eft obtus, le point C tombera fur Hl; s'il eft aigu, le même point tombera fur HL: on peut auffi trouver l'angle B avec la même facilité en prenant Cx CX fur la ligne H prolongée s'il eft néceffaire; & tirant du point c au point x la ligne cx qui donnera l'angle cxL ou cxl égal à l'angle ABC.

Pour concevoir la raifon de cette conftruction, il fuffira de jetter les yeux fur la figure 16, dans laquelle on voit que l'angle CHL eft égal à l'angle BAC, puifque les lignes CH & HL font toutes deux perpendiculaires à l'interfection commune AG des plans GAB, GAC; ainfi l'angle cHL eft le même que l'angle CHL. De même on voit auffi que dans le triangle CXc rectangle en c, les lignes cX & CX étant toutes deux perpendiculaires à l'interfection GB des plans BGC, BGA, l'angle qu'elles forment entr'elles, eft le même que l'angle ABC. Or par notre conftruction le triangle rectangle cCx de la figure 17 eft parfaitement égal au triangle CcX de la figure 16; donc l'angle x eft auffi égal de part & d'autre.

TROISIEME SCHOLI E.

188. En confidérant la figure 17 avec attention, on remarquera qu'un triangle quelconque ABC en détermine trois autres que l'on peut regarder comme fes correfpondants; favoir baC, BaC, bAC; chacun defquels a toujours un angle commun ou égal à l'un des angles du triangle BAC, & deux angles fuppléments des deux autres du même triangle; ainfi que deux côtés fuppléments de ceux de même dénomination avec un côté égal, favoir celui qui eft oppofé à l'angle égal.

Ces triangles renferment toutes les variétés dont le problême peut être fufceptible à l'égard des données ; & pour mieux entendre la conftruction de chaque cas particulier, on peut s'exercer à appliquer chaque folution à chacun de ces triangles.

PROBLEME II.

189. Connoiffant dans un triangle sphérique quelconque BAC deux angles A & B avec le côté adjacent AB, trouver 1°, les deux autres cótés; 2°, le troifieme angle.

SOLUTION.

Ayant pris fur le cercle ARDr (fig. 17) l'arc AB égal au côtédonné, & tiré au centre G les rayons AG & BG; on élevera les lignes Gr,GM refpectivement perpendiculaires à ces mêmes rayons: on prendra enfuite les arcs MN, RD refpectivement égaux aux angles en B & en A; puis après avoir tiré les finus Nn, Dd; avec les demi-axes GB, Gn; GA, Gd, on tracera les demiellipfes Bnb, Ada, lefquelles fe couperont dans un point C qui fera la projection de l'angle C du triangle fphérique BAC. Par ce point C on menera les cordes ICL, fCF perpendiculaires aux rayons GA & GB, ce qui donnera les arcs AL, Al égaux au côté AC,& les arcs BF, Bƒ égaux au côté BC. C. Q. F. 1°.T.