2o. Connoiffant les côtés AC & BC, on déterminera l'angle C par l'une ou l'autre des folutions indiquées au problême précédent. C. Q. F.2°. T.

PROBLEME III.

190. Connoiffant deux côtés quelconques AB, AC d'un triangle BAC & l'un des angles oppofés à ces côtés, trouver 1o, le troisieme côté; 2°, les deux autres angles. SOLUTION.

PREMIERE

Suppofons que les côtés connus font AB, AC avec l'angle B; & de plus que l'on fait de quelle efpece est l'angle A compris entre ces côtés connus. On prendra d'abord fur le plan du cercle ARBr un arc AB égal au côté donné AB, & l'on tirera les rayons GA & GB. Par G l'on menera la perpendiculaire MGm, au rayon GB fur laquelle on prendra Gn égale au cofinus de l'angle B, vers M fi l'angle BAC eft obtus, ou G, égale au même cofinus vers m fi l'angle BAC eft aigu; & fur les axes Bb, ny on tracera l'ellipfe Bnbv. Enfuite on prendra fur la circonférence du cercle ABar de part & d'autre du point A les arcs AL, Al chacun égal au côté donné AC, & l'on tirera la corde Ll qui coupera l'ellipfe Bnbv en deux points C, C' qui ferviront à déterminer le troifieme côté BC, en menant par ces mêmes points les lignes fCX, C'x' perpendiculaires au rayon GB, lefquelles donneront les arcs Bf & Bo égaux au troifieme côté, felon que l'angle A oppofé fera obtus ou aigu. C. Q. F. 1°. T.

2o. Pour avoir l'angle A, ayant décrit le demi-cercle IKL fur la corde Ll comme diametre, & tirées les ordonnées Cc, C'c'on menera du point H les lignes Hc, He' lefquelles donneront les angles LHc, LHc' égaux à l'angle A felon qu'il doit être obtus ou aigu. L'angle C fe trouvera par la conftruction indiquée au n°. 186. C. Q. F. 2°. T.

SECONDE SOLUTION.

Si l'on fuppofe que les côtés connus font AC & BC avec l'angle B oppofé au côté AC, l'on pourra trouver encore une autre folution qui ne fera pas plus compliquée que la précédente. On prendra d'abord un point B quelconque fur la circonférence du cercle ABRa, lequel fera le fommet de l'angle B. On tirera par ce point & le centre G le diametre BGb, auquel on menera le diametre MGm qui lui foit perpendiculaire; fur lequel prendra nG égal au cofinus de l'angle donné B; puis ayant pris de part & d'autre du point B les arcs BF, Bf égaux au côté donné BC, & tiré la corde Ff, on fera cette proportion MG: nG:: fX: XC, ce qui déterminera le point C fur le plan du cercle A Rar, lequel eft visiblement la projection de l'angle C.

on

Par le centre G & le point C l'on menera le rayon GCP; & fur la ligne GC, comme diametre, on décrira un cercle enfin du centre G avec un rayon GH égal au cofinus du côté donné AC, l'on décrira une portion de cercle qui coupera le dernier en deux points H, h, par lefquels on menera les lignes GHA, Gha qui détermineront le troifieme côté demandé AB, ou aB felon que l'angle inconnu oppofé au côté connu BC doit être obtus ou aigu. On pourroit auffi trouver le point C par une construction abfolument la même que celle qui a été expliquée au no. 187; en décrivant un demi-cercle fur la corde fF, & tirant au point X un rayon qui fit avec ƒX un angle égal à l'angle B, par l'extrémité duquel on abaifferoit une perpendiculaire à la même corde ƒX, laquelle détermineroit le point C fans y employer de proportionnelles. Les angles en A & en C fe détermineroient comme au premier Problême. C. Q. F. T.

PROBLEME IV.

191. Connoiffant deux angles quelconques A & B

d'un triangle BAC avec le côté AC oppofé à l'un de ces angles, trouver 1°, le côté oppofé à l'autre angle; 2°, le troifieme côté ; 3°, le troifieme angle. (fig. 17)

SOLUTION.

D'un point A quelconque du cercle ABRa foit mené le diametre AGa auquel on tirera le diametre rGR qui lui foit perpendiculaire. De part & d'autre du même point A foient pris les arcs AL, Al chacun égal au côté donné AC, & foit tirée la corde Ll. Sur cette corde, comme diametre, foit décrit le demi-cercle IKL; & du point H foient menés les rayons Hc, Hc' qui faffent avec LH un angle égal à l'un des angles donnés A, felon que ce même angle eft obtus ou aigu. Des points c, c' foient abaiffées les perpendiculaires cC, c'C', lefquelles détermineront les points C, c' qui font les projections de l'angle Cou C'. Enfuite des points c, c' foient menées les lignes cx, c'x' qui faffent avec les ordonnées Cc, C'c' les angles Ccx, C'c'x' égaux au complément de l'angle donné B. On a vu (au n°. 187) que la ligne Cx eft égale à CX dont la pofition détermine le côté AB & le côté BC. Pour la trouver, foit encore tirée la ligne GCP, & fur CG foit décrit un cercle GHCh, enfin du point C comme centre, foit décrit avec un rayon =Cx une portion de cercle qui coupera ce dernier en deux points X qui détermineroit le côté AB en menant le rayon GXB, & la corde fCXF menée par le point X, & le point C donnera les arcs Bf, BF chacun égal au troifieme côté; le troifieme angle fe trouveroit toujours par la conftruction indiquée au no. 186. C. Q. F. T.

SCHOLIE.

192. Si l'angle A eft aigu, ainfi que l'angle B, le point X trouvé dans le quart de cercle AGr donnera le côté AB qui fervira pareillement à trouver le côté BC. Il n'eft pas moins vifible que fi l'on imagine un cercle

décrit fur le rayon C'G, dans lequel foit infcrit la ligne C'x', on aura encore deux folutions du même problême, felon que l'angle A du triangle BAC fera aigu, & l'angle B obtus, ou que les angles en A & B feront aigus, & l'angle en C obtus. Nous n'avons point tiré toutes ces lignes fur la figure dans la crainte de la rendre trop

confufe.

PROBLEME V.

193. Connoiffant les trois côtés d'un triangle sphérique quelconque BAC, trouver un angle quelconque du même triangle. PREMIERE SOLUTION.

Ayant pris fur le plan du cercle ARa l'arc AB égal à l'un des côtés donnés, & tiré des extrémités A, B de cet arc les rayons AG, BG; on prendra de part & d'autre du point A les arcs AL, Al égaux au côté AC & les arcs Bf, BF égaux au troifieme côté BC, puis on tirera les cordes Ll, Ff qui fe couperont dans un point C, lequel fera la projection de l'angle C. Enfin ayant élevé aux rayons GA & GB par le centre G les perpendiculaires rGR, mGM, on cherchera une quatrieme proportionnelle Gn, aux lignes ƒX, CX, MG; & par le point n qu'elle déterminera fur MG, l'on menera la perpendiculaire nN terminée à la circonférence en N,ce qui donnera l'arc MN égal à la mefure de l'angle B; pareillement on cherchera une droite Gd quatrieme proportionnelle aux lignes IH, CH, rG, laquelle déterminera fur rG un point d, par lequel on élevera auffi la perpendiculaire dD qui donnera l'arc RD égal à l'angle en A; l'angle C fe trouveroit par une conftruction femblable, en prenant le côté AC fur la circonférence au lieu du côté AB. C. Q. F. T.

SECONDE SOLUTION.

Si l'on ne veut pas fe fervir de proportionnelles, ayant trouvé comme ci-devant le point C par l'interfection des

droites IL,Ff; fur Ll comme diametre, on décrira le demicercle LKI; & par le point C l'on menera la perpendiculaire Cc au diametre Ll; & du point c au point H, Pon tirera cH qui donnera l'angle cHL égal à l'angle en A; enfuite ayant pris Cx CX & tiré la ligne cx, Cx=CX l'angle cxC fera égal à l'angle B; on trouveroit l'angle C par une conftruction femblable. C. Q. F. T.

PROBLEME VI.

194. Connoiffant les trois angles d'un triangle, trouver chacun des trois côtés.

par

SOLUTIO N.

On fera un triangle DEF (fig. 11.) dont les trois côtés foient fuppléments des angles du triangle donné ; enfuite l'une des conftructions du problême précédent on cherchera les angles de ce nouveau triangle, lefquels feront les fuppléments des côtés que l'on demande. C. Q. F. T.

Scholie général pour les folutions précédentes.

195. On voit que les fix derniers Problêmes donnent la folution Géometrique de tous les cas des triangles fphériques obliquangles. Les conftructions peuvent également s'appliquer aux triangles rectangles, & n'en deviennent que plus fimples. Nous nous fommes difpenfés de démontrer chaque folution en particulier, parce qu'elles fe déduifent toutes comme autant de corollaires de la conftruction générale des projections ortographiques, expliquées ci-devant au n°. 161. & développées fur la figure 16, dont l'intelligence bien fuppofée donne toutes les notions qui pourroient devenir néceffaires pour une démonstration complette de nos folutions. Nous ajouterons encore quelques problêmes relatifs à cette efpece de projection qui eft celle dont on fait le plus d'ufage en Aftronomie.

PROBLEME VII.