eft double de chaque partie de la même chose. diftribuée en fix parties égales. d'un fol ou 4 deniers eft double de d'un fol ou 2 deniers. Si l'on fubdivife en fix parties égales, une chose divisée en trois parties égales, on partage néceffairement chacune de fes trois parties en deux parties égales; ainfi une de fes fixiémes parties vaut la moitié d'une de ses troifiémes parties: D'où il s'enfuit, 12 Que la valeur d'une fraction ne changera pas, foit qu'on multiplie fes deux termes par un même nombre entier, foit qu'on divise ses deux termes par un même nombre entier. Si je multiplie, par exemple, les deux termes de cette fraction par 3, la fraction qui naîtra de cette opération, fera de même valeur que ; puifqu'en multipliant par 3 le dénominateur 4 de , j'aurai 12 trois fois fois plus grand que 4, & par conféquent la chofe que je confidérois diftribuée en 4 parties égales, par cette multiplication fera diftribuée en 12 parties égales, & chacune de fes 4 parties fera fubdivifée en 3 parties: ainfi chaque partie de l'unité diftribuée en 12, fera trois fois moindre que chaque partie de la même unité, distribuée en 4, & vaudront trois fois moins que : il faut donc prendre trois fois, c'est-à-dire, multiplier le numérateur 2 de par 3, pour avoir qui égaleront. Si la fraction défigne les 2 d'un fol, puifque d'un fol eft de douze den. & que le quart de 12 deniers eft 3 deniers, 6 12 12 12 feront 2 fois 3 ou 6 deniers, ou I 2 20 d'un fol. Si je divise, par exemple, les deux termes de cette fraction par l'entier 4, la fraction qui naîtra de cette opération, aura la même valeur que; car en divifant par 4 le dénominateur 20 de, j'aurai 5 quatre fois plus petit que 20. L'unité qui étoit diftribuée en 20 parties égales, fe trouvera diftribuée par cette divifion en 5 parties égales, & par conféquent on prend 4 de ces 20 parties de l'unité pour en faire une cinquième partie de la même unité; ainfi vaut Je divife auffi par le même 4 le numérateur 12 de, & j'aurai égal à; car vaut & 3 fois ou valent 3 fois ou 3. Ainfi foit qu'on multiplie, foit qu'on divife les deux termes d'une fraction par un même nombre, fa valeur ne changera pas. 4 20 20 20 12 20 Il fuit de ce que nous venons de dire, qu'on peut multiplier & divifer une fraction par un nombre entier, en deux manieres. La premiere maniere de multiplier une fraЄtion par un nombre entier, eft de multiplier le numérateur de cette fraction par ce nombre entier, ce qui eft toujours poffible: foit à multiplier par 3, je puis toujours multiplier le numérateur 2 de par 3, & le produit vaut 3 & fois; puifque eft la fomme des trois fra&tions, 2 La feconde maniere de multiplier une fra&tion par un nombre entier, eft de divifer le dénominateur de cette fraction par ce nombre 20 15 entier, ce qui n'eft poffible que lorfque le dénominateur de cette fraction contient fans reste ce nombre entier. Soit à multiplier par 5, au lieu de multiplier 4 par 5 pour avoir, je divife le dénominateur 15 par 5, & j'aurai de même valeur que ; car en multipliant les deux termes de par 5, le produit fera 20: ainfi eft égal à . Cette feconde maniere de multiplier une fraction eft préférable à la premiere, parce que réduifant la fraction à de moindres termes, elle la rend plus aifée à comprendre. 20 3 20 La premiere maniere de divifer une fraction par un nombre entier, c'est de multiplier le dé→ nominateur de cette fraction par ce nombre entier: ainfi pour divifer par 4, je multiplie le dénominateur 5 par 4, & le produit 20 est le dénominateur de la fraction qu'on cherchè qui eft; car le quotient de divifé par 4 doit être quatre fois moindre que: or 2 eft quatre fois moindre que; puifque dans l'unité est divifée en 5 parties égales, & que dans même unité eft divifée en 20 parties égales, & que pour diviser en 20 parties une chofe déja partagée en 5 parties, il faut subdiviser chacune de ces 5 parties en 4 autres parties éga les: ainfi d'une chofe vaut 4 fois de la même chofe, & vaut 3 fois 2% 4 quent eft le quart de 3. 20 209 & par 20 confé la La feconde maniere de diviser une fraction par un nombre entier, c'eft de divifer le numé rateur feul de cette fraction par ce nombre en tier, 15 30 is 30 tier, lorsque le numérateur contient fans refte ce nombre entier : ainfi pour diviser 15 par 3, je divife le numérateur 15 par 3, & le quotient eft,3 fois moindre que 5. On doit préferer cette feconde maniere de divifer une fraction par un nombre entier ; parce que réduifant la fraction en moindres termes, la fraЄtion devient plus aifée à comprendre; mais elle n'eft poffible que lorfque le numérateur de la fraction contient fans refte ce nombre entier, Il y a une infinité de fractions qui ont la même valeur telle fraction propofée que ce foit, comme; car en multipliant les deux ter mes de cette fraction fucceffivement par les nombres entiers 2, 3, 4, 12, 24, 48, &c. 3,4, que 6 8 6999 on aura les fractions 136722 144? 24 48 96 &c. qui ont toutes la même valeur que 3. Ainfi il arrive fouvent qu'une fraction eft exprimée par de grands nombres, & qu'on ne voit pas diftinctement fa yaleur: or comme on connoît d'autant mieux la valeur d'une fraction qu'elle eft exprimée en plus pétits termes; il est néceffaire de trouver une fraction de même valeur que la propofée 244, & qui foit exprimée par les moindres termes poffibles, ce qui s'appelle réduire une fraction à son exposant: je conçois qu'en divifant les deux termes de 2 par le plus grand nombre entier 48 qui puiffe les divifer fans refte, la fraction qui naîtra de cette opération aura la même valeur que & fera exprimée par les moindres termes; puifque 96 144 96 144 E plus le divifeur eft grand, plus le quotient eft petit. Ainfi pour réduire une fraction à fes moindres termes, il faut diviser les deux termes de cette fraction par le plus grand nombre qui les divife exactement, & qu'on appelle le plus grand commun divifeur des deux termes de cette fraction. Voici la maniere de le trouver. Pour abréger, je défignerai le plus grand commun diviseur par p. g. c. d. Soient les deux nombres 66 défigné par A A, & 22 défigné par B. ou on divife le plus grand nombre A 66 par l'autre B22 le quotient 3 marque que B eft contenu 3 fois dans A, & que 3 fois B, ou 3 B eft égal à A, & par conféquent que B eft de A, & eft égal à. Ainfi 22 eft lep.g.c.d. de, puifque tout nombre plus grand que 22 ne peut pas diviser 22. Mais fi je divife les deux termes de B14 A225 par B54, je trouve le quotient 4, & le refte C9: ainfi A étant égal à 4B & à C9, le p.g. c.d. de A & de B, doit être le p. g. c. d. de 4B & de C, dont A eft compofé. Si le refte Ceft divifeur exact de B, il fera le p. g. c. d. de 4B & de C, & par conféquent de A & de B, & un plus grand nombre que C9, ne peut être divifeur exact de A & de B, parce qu'il ne peut divifer fans refte 4B & C. En divifant donc les deux termes de 4 par C, leur p. g. c. d. on aura égal à 54. 25 225 A225 Pour trouver donc le p.g. c. d. des deux terje divife A le plus grand des nom mes de B296 |