bres propofés par B le plus petit, le quotient eft 2, & le refte eft R1 12. Ainfi le nombre A eft égal à 2B & à R, & le divifeur exact de A doit divifer exactement 2B & R, & par con féquent il ne peut être plus grand que R. Je conçois que fi R divise exactement B, R fera divifeur exact de 2 B & de R: ainfi je divife B par R premier reste, & le quotient eft 2 & le refte eft $72, & par conféquent B est égal à 2R & à S or le diviseur exact de B doit divifer exactement R & S : ainfi il ne peut être. plus grand que S. Si S fecond refte divise exaêtement R premier refte, S fera diviseur exact de 2R & de S. Je divife donc R par S, & le quotient eft r & le refte eft T40: R eft donc égal à 1S & à T troifiéme refte, & le diviteur exact de R doit divifer exactement S & T, & il ne peut être plus grand que T. Je divife donc par T, & le quotient eft I & le refte eft V32, & S eft égal à T & à V quatriéme refte. Le divifeur exact de S, devant diviser exactement T & V, ne peut être plus grand que V : ainfi je divife T troifiéme refte par V quatriéme refte, & le quotient eft 1, & le refte eft X8: Test égal à V & à X cinquiéme refte ; & le divi feur exact de T devant diviser exactement V & X, ne peut être plus grand que X: je divife donc V quatriéme refte par X. cinquième refte, & le quotient qui eft 4 fans refte, marque que X divise exactement V égal à 4X : or X divifant exactement V égal à 4X, divisera S exactement les cinq nombres précédents, qui font, 40 Tégal à V & à X, ou à 37 X, ou à fois 8, ou à 9 fois 8, ou à 72 14 fois 8, ou à 112 37 fois 8, ou à 296 A égal à a B & à R, ou à 88 X, ou à 88 fois 8, ou à 704 le X eft le p.g. c. d. de A & de B, parce que p. g. c. d. de A & de B doit diviser exactement 88X, égal à A, & 37X égal à B. Or un plus grand nombre que X ne peut divifer exactement 37X, puifque 37 n'a pas d'autre diviseur que l'unité. Ainfi pour trouver le p. g. c. d. de deux nombres, on divise le plus grand par le plus petit; s'il n'y a point de refte, le divifeur fera lep.g.c.d. de ces deux nombres : s'il y a un reste, on divise le diviseur par ce refte; s'il y a un fecond refte, on divisera le premier refte par le second, le fecond par le troifiéme &c. jusqu'à ce qu'un refte divife exactement le refte précédent, & le dernier refte trouvé fera le p. g. c. d. des deux nombres propofés. Les nombres A704 & B296 étant divifés par X8, leur p.g. c. d. font réduits à 88 & 37, ou à 17. 37 CA704 B 296 C 36 X8 Pour trouver le plus grand c. d. des trois nombres A704, B296, C36, je cherche d'abord le p. g. c. d. X8 des deux premiers nombres A & B, enfuite confidérant que fi X divife exactement le troifiéme nombre C, X fera le p.g.c.d. de A, B, C, je divife C par X, YA le quotient eft 4, & le refte eft Y4. Ceft donc égal à 4X & à Y4; ainfi le p. g. c. d. doit didivifer 4X & Y. Je divife X premier reste par Y fecond refte, qui divife X exactement, & par conféquent Y eft le p.g. c. d. de 4X & de Y égal à C. Pour trouver le p. g. c. d. des quatre nombres A704, B396, C36, & D26, je cherche le p.g.c.d. des trois premiers nombres A, B, C ; & confidérant que fi Y qui eft le p. g. c. d. de A,B,C, divife exactement le quatriéme nombre D, Y fera le p. g. c. d. de A, B, C, D, je divife D par Y, A704 B296 C 36 D 26 X8 Z2 le quotient eft 6, & le refte Z2. D eft donc égal à 6Y & à Z, & le p. g. c. d. doit diviser exactament 6Y & Z. Si Z divise exactement Y, Z divisera exactement 6Y & Z. Je divife donc Y par Z, & le quotient eft 2 fans refte. Y eft donc égal à 2Z, Z étant le p. g. c. d. de 6Y & de Ž, & de D qui leur eft égal, Z eft le p. g. c. d. de A, B, C, D, qui étant chacun divifé par Z, leur p. g. c. d. font réduits A, à p.g. 352, B, à 148, C,à 18, D, à 13. 30000 Pour réduire la fraction 246000 à fes moindres termes, je divife fes deux termes par 1000, ce que je fais en retranchant trois zeros de chaque terme, & la fraction 246000 eft réduite à 46. Enfuite je divife les mes de par 6 leur p.g. c. d. & j'ai 246 30 30 246000 8 de même valeur que 230000• 30000 deux terégal à É iij 112 112 Pour réduire la fraction 22, àfes moindres termes, je cherche le p, g. c. d. des deux termes de cette fraction qui eft 1; ainfi je vois que ne peut être réduit à de moindres termes fans changer de valeur; fi on ôte de 22, il reftera, qui étant divifé par 14 fon p. g. c. d. fera réduit à 3. Si on avoit 28 en ajoutant 1 à son dénominateur, on auroit égal à . Si on avoit 27 en ajoutant 1 à 7. chaque terme de 27, on auroit 98 712 99 97 III 97 I I 8 II 2 98 égal à 7. Si la fraction étoit 22, en ôtant I du dénomina 112 113 98 I I2 teur, on auroit égal à. Si on avoit 22, en ôtant i de chaque terme on auroit encore 2o égal à 7. Ainfi lorsqu'une fraction exprimée par de grands nombres ne peut être réduite à de moindres termes, on peut ajouter à l'un de fes deux termes, ou à tous les deux 1 on peut auffi ôter i de l'un de fes deux termes ou de tous les deux, & l'erreur fera d'autant moins sensible, que fes termes feront exprimés par de plus grands nombres. Pour réduire en fraction fimple une fraction complexe, c'est-àdire, compofée d'un nombre entier & d'une fraction, il faut multiplier le nombre entier par le dénominateur de la fraction propofée, & ajoûter le produit au numérateur de cette fraction. Ainfi pour réduire en fraction fimple 4, je multiplie 4 par 12, & j'ajoûte au numérateur 3 le produit 48, ce qui fera égal à 4 Car vaut & vaut 4. Ainfi # est égal à 4 ‚1⁄2· 1 2 1 2 2 : or 48 1 2 Pour connoître diftinctement ce que deux où plufieurs fractions qui ont différents dénomina teurs, font les unes à l'égard des autres, comme 39 &c. il faut les réduire au même dénominateur fans changer leur valeur. Ainfi pour réduire au même dénominateur & 4. Il faut multiplier les deux termes 2 & 3 de la premiere fraction par 5 dénominateur de la feconde & le produit fera la fraction 1 égale à ; enfuite il faut multiplier les deux termes 4 & 5 de la feconde fraction par 3 dénominateur de la premiere, & le produit fera égal à ‡. Or &ont le même dénominateur 15, & à l'égard de comme 10 eft à 12. On peut exprimer les fractions qui ont un même dénominateur, en pofant le dénominateur une feule, fois, comme 10, 11 I 2 15 eft, Si le dénominateur de l'une des deux fractions propofées eft contenu éxactement dans le dénominateur de l'autre, il n'y a qu'à multiplier les deux termes de la fraction, qui a le moindre dénominateur , par le nombre de fois qu'il eft contenu dans le plus grand dénominateur; & la fraction qui naîtra de cette opé ration aura le même dénominateur que l'autre. Soient, le petit dénominateur 5 de eft 20 contenu 4 fois, dans le grand dénominateur 20 de. Si je multiplie les deux termes 3 & 5 de par 4, qui exprime combien de fois le petit dénominateur 5 eft contenu dans le grand 20. J'aurai égal à & de même dénomina teur que . Evi |