9. Car l'interfection de leurs plans eft une droite qui paffe par le centre de la fphére: c'eft donc un diamètre commun à ces deux cercles. Or chaque diamètre coupe fon cercle en deux également.

10. Il fuit de-là, que deux arcs de grands cercles moindres que de 180 degrés, ne peuvent, par leur rencontre, rentfermer un efpace fur la furface de la sphère. Car s'ils fe rencontrent par une de leurs extrémités en y formant un angle, ils ne fe peuvent plus rencontrer par l'autre extrémité, qu'à la diftance de 180o.

II. DEFINITION. La mefure d'un angle sphérique eft la même que celle de l'angle d'inclinaison des deux plans des grands cercles, dont l'interfection forme cet angle fphérique.

le

12. D'où il fuit, 1o, que l'arc FE d'un grand cercle décrit du fommet B d'un angle sphérique quelconque EBF (fig. 1) comme pole, eft la mesure de cet angle fphérique. Et en général un arc quelconque fe décrit du fommet B, & intercepté entre les côtés BF, BE d'un angle sphérique quelconque FBE, eft la mefure de cet angle. Car foit AEBCA le plan d'un demicercle, & AFBCA le plan de l'autre dont l'interfection commune forme l'angle fphérique FBE: 1o, II eft clair (Elem. 630) que fi du centre Con éleve fur le plan AEBCA rayon CE perpendiculaire à l'interfection AB, & fur le plan AFBCA le rayon CF auffi perpendiculaire à AB, l'angle FCE eft égal à l'inclinaison des deux plans, & l'arc FE décrit du centre C, eft la mesure de cette inclinaison: or (6) cet arc auroit pu être décrit de même du pole B; donc le point B eft le pole de l'arc de grand cercle qui mefure l'angle fphérique FBE. 20, Si d'un autre point c quelconque pris fur l'interfection AB, on éleve dans chaque plan les deux droites ce, cf perpendiculaires à cette interfection elles feront dans un plan perpendiculaire à AB, & par conféquent dans le plan d'un petit cercle parallèle au plan du grand cercle dont B eft le pole; AB fera un axe commun à ces deux cercles: leur angle ecf, (& fa mefure l'arc fe décrit du centre c) fera auffi égal à l'inclinaifon des plans des deux demi-cercles (Elem. 630). Or (6) l'arc fe peut fe décrire du point B pris dans l'axe AB; donc un arc fe

quelconque décrit du fommet B d'un angle fphérique & intercepté entre fes côtés EB, FB, eft la mesure de cet angle. 13. 11o, Que fi on prolonge les arcs qui forment un angle fphérique quelconque FBE, jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent de nouveau en A, l'angle FAE est égal à l'angle FBE, & les prolongements de ces arcs en font les fupplements. Car deux arcs ne pouvant fe rencontrer de nouveau qu'à la diftance de 180°, les arcs AFB, AEB font de 180o. Or B étant le pole de l'arc FE qui mefure l'angle FBE (12), cet arc FE eft éloigné de 90° des points B & A ; donc le point A eft auffi le pole de l'arc FE; donc l'arc FE mefure également les deux angles fphériques FBE, FAE.

14. III°, Que le point F, pris à la distance de 90° de l'in terfection d'un cercle avec un autre, eft le point où ce premier cercle s'écarte de l'autre le plus qu'il eft poffible,& réciproquement.

15. IV, Les deux angles fphériques oppofés au fommet, & formés par l'interfection de deux arcs, font égaux entr'eux. Parce que (Elem. 632) l'inclinaison de deux plans eft la même de part & d'autre de leur interfection.

16.V°,Si un arc de cercle aboutiffant fur un autre arcy forme deux angles,l'un est toujours fupplément de l'autre. (Elem.631). 17. VIo, On peut confidérer un triangle fphérique ABC (fig. 8) comme la bafe d'une espèce de pyramide ABCD dont le fommet D eft au centre de la fphére, & dont les faces CDB, CDA, ADB, font des fecteurs terminés par les arcs BC, AC, AB, & par les rayons CD, AD, BD. Alors on voit que chaque angle du triangle fphérique est égal à l'angle de l'inclinaifon de ces faces, & chaque côté eft égal à l'angle du fecteur qu'il termine.

18. THEOR. II. L'arc de grand cercle intercepté entre les deux poles de deux grands cercles, eft égal à l'arc qui mesure l'inclinaison de ces deux cercles, ou l'angle Spherique qu'ils forment par leur interfection.

19. Car puifque l'axe de chaque grand cercle eft perpendiculaire à fon plan, & paffe par le centre de la fphére, les plans de deux grands cercles ne peuvent être confondus, que leurs axes ne le foient auffi; ils ne peuvent s'incliner P'un fur l'autre que leurs axes ne s'inclinent d'autant; donc

l'angle des axes de deux grands cercles est égal à l'angle de l'inclinaifon de leurs plans; or l'angle de deux axes eft mefuré fur la fphére par l'arc de grand cercle compris entre leurs extrémités, c'est-à-dire, entre les poles de ces grands cercles: donc l'arc compris entre les poles de deux grands cercles, mefure l'angle fphérique formé par leur interfection.

20. COROLLAIRE I. Si un angle fphérique eft droit, l'arc qui forme un des côtés de cet angle paffe par le pole de l'arc qui forme l'autre côté & réciproquement. Car fi l'angle FBE eft droit, (fig. 1) l'arc FE eft de 90°; donc le point E eft éloigné de 90° de l'arc AFB; donc il en eft le pole : de même le point F eft le pole de l'arc AEB.

21. II. Pour abbaiffer d'un point donné un arc perpendiculaire à un arc donné, il faut décrire un arc de grand cercle qui paffe par le point donné,& par le pole de cet arc donné.

22. III. Deux ou plufieurs arcs qui font perpendiculaires - à un autre arc, s'entrecoupent tous à fon pole, ou à 90° de distance de cet arc: & réciproquement un arc qui coupe deux ou plufieurs autres arcs à 90° de diftance de leur interfection, les coupe tous perpendiculairement.

ARTICLE II.

Propriétés générales des Triangles Sphériques.

III.

23. THEOR. SI Ides trois angles A,B,C,(fig.2) d'un triangle Sphérique,comme poles, on décrit trois arcs de cercle, FE,FD,DE, qui forment un nouveau triangle sphérique DEF, chaque côté de ce nouveau triangle eft le fupplément de l'angle qui eft fon pole, & chaque angle de ce même triangle eft le fupplément du côté du triangle ABC qui lui eft opposé. 24. DEM. Puifque A eft le pole de l'arc FGHE, la diftance des points A, E, eft de 90°; & puifque C eft le pole de l'arc DNME, la diftance des points C, E, eft de 90°. Donc E eft le pole de l'arc NACG. On prouve de même que Feft le pole de l'arc IABH, & D le pole de l'arc MBCL. 25. Cela pofé, 1o, l'arc FI eft de 90° (3) auffi-bien

A 3

que

DL; donc DL+FI 180°, ou DL+FL + LI = 180°, ou DF + LI = 180o. Donc ( Elem. 427) DF est le fupplément de LI qui eft la partie commune des quarts de cercle, DL, FI. Or cet arc LI ayant B pour pole, eft la mesure de l'angle ABC: donc le côté DF eft le fupplément de l'angle ABC. On démontre de même que GH, mefure de l'angle A, eft le fupplément de l'arc FE, & que NM, mesure de l'angle C, eft le fupplément de l'arc DE. 11o, les arcs BI, AH étant chacun de 90°, leur partie commune AB eft le fupplément de l'arc total IABH, qui eft la mesure de l'angle IFH. Donc le côté AB eft le fupplément de l'angle F. De même AC eft le fupplément de l'angle E, & BC le fupplément de l'angle D.

26. COROLL. Si on joint deux angles correfpondants quelconques A, D par un arc de grand cercle AD, (lequel étant prolongé en P deviendra un arc perpendiculaire tiré de A fur le côté oppofé BC): fi de plus on prolonge les arc CA, FD jufqu'au point de concours K, on aura quatre triangles DAI, NAD, KAI, KND rectangles en I,N, dont les angles & les côtés feront les compléments des angles & des côtés du triangle ABC, ou bien ils leur feront égaux. Ainfi les côtés IA, ID font compléments de AB & de B, & l'hypoténufe AD eft complément de l'arc perpendiculaire AP. De même AN, DN font compléments de AC & de C: l'angle NDK est égal au côté BC, & l'angle DKN eft complément de l'arc BQ tiré perpendiculairement de l'angle B fur le côté oppofé AC, à caufe des points B, E qui font les poles des cercles dont DK, NK font des arcs (18). On peut dire la même chofe des arcs BA & DE, ou des arcs CB & FE prolongés jusqu'à un de leurs deux points de rencontre. Ces triangles rectangles peuvent fervir au calcul du triangle obliquangle ABC.

27, THEOR. IV. La fomme de deux côtés quelconques d'un triangle fphérique, eft plus grande que le troisième côté. Ce qui fe démontre de la même manière que dans les triangles rectilignes (Elem. 494 ):

28. THEOR. V. Un côté quelconque de triangle sphérique ft toujours plus petit qu'un demi-cercle.

29. DEM. Un triangle fphérique eft toujours formé par deux arcs de cercles, qui s'étant coupés, font rencontrés par un troisième arc avant que de fe rejoindre: or ils fe feroient rejoints à la diftance de 180° (10); donc aucun d'eux ne peut être un arc de 180°.

30. THEOR. VI. La fomme des trois côtés d'un triangle Spherique, eft toujours moindre que de 360°,

31.DEM. Soit le triangle ABC (fig. 3), ayant prolongé deux côtés quelconques AB, AC, jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent en D, les arcs ACD, ABD, font chacun de 180°, Or (27) DC+ DB eft plus grand que BC: fi on ajoute de part & d'autre AC + AB,on aura AC + AB+DC+DB, plus grand que BC AC+AB; c'est-à-dire, que les deux demi-cercles ACD, ABD, font enfemble plus grands que la fomme des trois côtés AC, AB, BC.

32. THEOR. VII. La fomme des trois angles d'un triangle fphérique, est toujours plus grande que de 180°; & moinque de $400, ou que de fix angles droits, puisqu'un angle ne peut aller jufqu'à 180°.

dre

34. DEM. La fomme de trois angles du triangle ABC (fig. 2) & des trois côtés du triangle DEF, fait trois fois 180° ou 540° (23); mais la fomme des trois côtés du triangle DEF, eft moindre que de deux fois 180° (30). Donc la fomme des trois angles du triangle ABC, eft plus grande que de 180°.

34. COROLL. I. Un triangle fphérique peut avoir trois angles droits, & même trois angles obtus.

35. COROLL. II. Etant donnés deux angles d'unriangle fphérique, on ne peut pas en conclure immédiatement le troisieme. 36. REMARQUE. Plus les arcs qui forment les côtés d'un triangle fphérique ont de degrés, plus la fomme des angles excéde 180°. Car alors le triangle fphérique s'éloigne d'autant plus d'être rectiligne.

37. THEOR.VIII. Deux triangles fphériques font égaux, 10 ft les trois côtés de l'un font égaux aux trois côtés homologues de l'autre,chacun à chacun. 2°, S'ils ont deux côtés homologues égaux qui renferment un angle égal. 3°,S'ils ont deux angles homologues égaux qui comprennent un côté égal. 40,Si les trois an