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Il faut donc pour soustraire juste ecrire 15-7 H 3, c'est-à-dire, 11.'

En un mot, pour soustraire une grandeur ou plusieurs grandeurs d'une autre grandeur, il faut changer tous les lignes des grandeurs à soustraire , & les joindre ainsi à la grandeur dont on soustrait.

De la grandeur A, je veux soustraire B (+ D- E, j'écris A - B + CD+E, & l'operation est faite.

Multiplication.

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Cette operation est la plus difficile. On la comprendra cependant avec un peu d'attention. Si je veux multiplier la grandeur A, par la

gran deur B, je sçai déja qu'il faut écrire fimplement AB.

Si je voulois multiplier 3 A par 4 B, je devrois par

la même raison écrire 12 AB. Mais pour comprendre les operations suivantes, il faut se souvenir des Axiomes posés ci-devant.

Un tout est égal à toutes ses parties prises ensemble.

C'est la même chose de multiplier un tout par lui-même, ou de le multiplier par chacune de ses parties, & de prendre la somme de tous ces pros duits. Cela posé,

Je veux multiplier la grandeur A + B par la grandeur C; je considere que la grandeur A + B a deux parties, sçavoir A & B. Donc je dois multiplier A par C, & B par C, pour avoir le produit de la grandeur A-t B par C, c'est-à-dire , que je dois écrire AC + BC.

Par la même raison, si je veux multiplier la grandeur A+ B, par la grandeur C + D, je dois d'a

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bord multiplier A + B par C, c'est-à-dire , que je dois mettre comme ci-dessus AC + BC. Mais il faut encore multiplier À + B par D, c'est-à-dire, que je dois mettre AD 4 B D. Donc la multiplication totale eft AC + BC + AD + B D.

En nombres je veux multiplier 2 + 3 par 4 +5, c'est-à-dire, 5 par 9, ce qui produit 45. Je multiplie 2 par 4, 2 par Ś, į par 4, 3 par 5, viennent les produits 8, 10, 12, 15, dont la somme est 45.

En un mot, il faut faire autant de multiplications partiales , qu'il y a de caracteres differens dans le multipliant, & dans la grandeur à multiplier.

Que fi j'avois à multiplier À + B par C—D, j'écrirois ainsi le produit AC + BC AD BD, me souvenant toûjours que quand je mul tiplie le signe + par le signe -, le produit eft moins. C'est la inême raison qué dans la foustraction. La chofe est évidente dans les nombres. Car fi A est 6, que B foit 5, C soit 4, & que D soit 3 , il s'agit de mutiplier 6 + 5 par 4 - 3. Je multiplie + 6 par + 4 vient plus 24, je multiplie +'s par + 4 vient +20, je multiplie +6 par - 3 vient — 18, je multiplie + 5 par— 3 vient—15. Ces quatre produits ensemble font 24 -+ 20 — 18

15, c'est-à-dire, 11. Ce qui doit venir en effet au produit, puisque multiplier 6 + 5 par 4 — 3, c'eft multiplier it par i.

Mais il y a une autre observation importante à faire, qui est que lorsque je multiplie le ligne par le signe —,

-, le produit doit avoir le signe +. Par exemple, je multiplie A - B par C – D; je dois écrire au produit AC-BC-AD+ BD.

J'écris + AC, parce que c'est + A, inultiplié par + 6. J'écris - BC, parce que c'est —

multiplié par + C. J'écris

AD, parce que c'est + À multiplié par D. J'écris * BD, parce que c'est - B multiplié par — D.

Pour en comprendre clairement la raison ; que A vaille 8, B soit 2, C soit 6, D soit 1. J'ai à multiplier A - B par (D; c'est-à-dire, +8

2 par +6-1, ou 6 par 5, il doit venir 30 au produit.

Je multiplie + 8 par + 5, vient + 48. Je multiplie 2 par +6, vient

18? Je multiplie 48 par - I, vient — 8. Je multiplie - 2 par - I, vient + 2. Tous ces produits ajoûtés ensemble font 48 — 12-8 + 2, c'est-à-dire 30, comme il devoit arriver.

En voici la raison. Lorsque je fais la multiplication partiale de 8 par 6, elle est trop grande ; & de combien de 3 fois 1 , parce 8 ne devoit être multiplié réellement que par 6-1, c'est-à-dire par 5, il faudra donc déja diminuer 8; ainsi j'aurai à mettre — 8 dans la multiplication totale. Puis quand je viens à multiplier — 2 par +6, il me vient 12 : mais ce

trop, parce que je devois réellement multiplier — 2 par 6-1, c'est-à-dire par 5, & le produit n'eût été que — 10. Asant donc ôté 2 de trop, je dois les remettre dans l'addition des multiplications partiales, & c'est aussi ce que je fais en écrivant + 2 pour le produit de - I par - 2. Ce raisonnement est clair, mais il demande de l'attention.

12 ôte

Division.

L'opération est fort courte; il n'y a qu'à séparer par une petite barre la grandeur qu'on divise, & la grandeur qui doit diviser; en sorte que la gran

CD

А в Х.

х

CD

; & divi

deur qu'on divise soit au-dessus , & l'autre dessous. Ainsi pour diviser A, par B, j'écris : Pour divi

BC fer BC par x, j'écris Pour diviser B C D par

х BCD G, j'écris

G Il y a seulement une observation à faire , qui cst, que s'il se trouve la même ou les mêmes lettres audeffus & au-dessous de la barre, il n'y a qu'à les effacer. L'expression demeure la même, mais plus

ABCD fimple. Ainsi aïant

, j'écris fimplement La raison de cela , est que pour multiplier la gran

CD AB deur

par AB, je dois écrire

х sant ce produit par AB, je n'ai qu'à écrire A B audessous ainsi

Or multiplier une grandeur par une grandeur, puis diviser le produit par la même grandeur , c'est ne la pas changer. Par exemple, multiplier 5 par 4, vient au produit 20. Diviser 20 par 4, revient le premier nombre s. Si j'avois

cela voudroit dire simplement 3 B. Car divisant le numérateur & le dénominateur par 4,

viendra , c'est-à-dire , 3B; puisque 3 B, multipliés par Ac, puis divisés c'est toûjours 3 B.

En voila assés pour aller fort avant dans les plus importantes démonstrations.

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CDAB

Y AB

12 B

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4 AC

3 ABC
AC

par AC,

ELEMENS

ELEMENS

D E

GEOMETRIE.

PREMIER LIVRE. Des Perpendiculaires des obliques.

PREMIERE PROPOSITION.

'Un point donné comme A, faire tomber une perpendiculaire sur une ligne donnée comme BC.

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coupant la ligne don

pée en deux points, comme D E. Des deux points

А

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