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étant fuppofé également éloigné des points B, C, tout autre point de la perpendiculaire, comme A, fera auffi à égale distance des mêmes points B, C. Donc les deux obliques AB, AC, qui mefurent cette diftance, feront égales.

Second Cas. Si la perpendiculaire eft égale à la perpendiculaire, & l'oblique à l'oblique, les éloignemens de perpendicule feront égaux.

Car la perpendiculaire étant la même, & les deux obliques égales, il s'enfuit par la cinquiéme Propofition que l'éloignement de perpendicule D B, eft égal à l'éloignement du perpendicule DC; puifque, par cette Propofition, les obliques font d'autant plus longues, qu'elles font plus éloignées du perpendicule, étant évident que le plus grand éloignement de perpendicule donneroit une plus longue oblique, fi ces éloignemens n'étoient pas égaux.

Troifiéme Cas. Si l'oblique eft égale à l'oblique, & l'éloignement de perpendicule égal à l'éloignement de perpendicule, la perpendiculaire fera égale à la perpendiculaire.

C'est la même preuve que celle du Cas précédent. Il ne faut que confiderer BD, DC, comme perpendiculaires, & AD, comme éloignement de perpen dicule. Il eft évident que BD, étant égale à DC, BA, égale à CA, il faut que AD, foit égale à DA, c'eft-à-dire, à elle-même.

SEPTIEME PROPOSITION.

Deux lignes obliques, inégales entr'elles & inclinées de different côté, comme la ligne AB, AC, étant menées du point A, fur la ligne DC: Et deux autres lignes inégales entr'elles, mais dont chacune eft égale à chacune des deux premieres, comme les

lignes FG, FH, étant menées du point F, fur la même ligne GE; fi BC, distance des points de fection des deux premieres eft égale à GH, distance des points de fection des deux dernieres, les deux points A, F, d'où elles partent, font également distants de la ligne à laquelle elles font menées.

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Car par le dernier Cas de la Propofition precedente, les obliques étant égales aux obliques, c'est-àdire AB, étant égale à FG; AC, étant égale à FH, & les points de fection BC, GH, éloignemens de perpendicule, étant fuppofés égaux, il faut bien que les perpendiculaires AI, FK, foient égales, Cette derniere Propofition eft de grand ufage, & il est important de la bien retenir,

SECOND LIVRE.

A

Des Paralleles.

PRE's avoir confideré dans le premier Livre, une proprieté des lignes droites, qui eft de fe rencontrer perpendiculairement ou obliquement, nous confidererons dans celui-ci une proprieté oppolée, qui eft de ne fe rencontrer jamais.

PREMIERE PROPOSITION.

Si une ligne comme AB, eft perpendiculaire fur une ligne comme CD, & oblique fur une autre ligne comme EF, toute autre ligne comme GH, qui fera perpendiculaire fur CD, fera neceffairement oblique fur EF, & la plus courte de toutes sera celle qui fera la plus proche de l'inclinaison des lignes CD, EF, c'eft-à-dire la plus proche du point où ces deux lignes prolongées fe rencontreroient.

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cette per- C

BI

H

pendiculaire rencontrera la ligne C D, ou précisément au point H, ou entre les points B, H, ou par-delà le point H.

Si elle la rencontre entre les points B, H, il faut continuer à mener, comme dans la figure, des per

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ait paffé le

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perpen

point H. Et en tous ces cas, on démontrera que la ligne GH, eft perpendiculaire fur l'une & oblique fur l'autre. Par exemple, puifque AB, eft diculaire fur CD; AI, fera oblique fur CD, & par confequent AI, fera plus longue que AB, par la quatriéme Propofition du premier Livre. On démontrera en comparant toutes les lignes qui fe fuivent, que la ligne LH, eft plus longue qu'aucune des precedentes, mais plus courte que la ligne GH, par la même Propofition, & que GH, fera oblique fur EF, puifque HL, y eft perpendiculaire. Si la ligne AI, rencontre.d'abord le point H, ce fera la même démonstration. Que fi la ligne AI, paffe le point H, on démontrera la même chofe, en élevant au point I, une perpendiculaire fur CD.

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comme GH,

H

B

D

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foit perpendiculaire fur EF, & oblique fur CD,

ces lignes ne s'entrecoupent point, celle qui fera plus près de l'endroit vers lequel tendent les inclinées CD, EF, telle qu'eft GH, fera plus courte que l'autre AB.

Car du point H, aïant mené fur EF, l'oblique HI, perpendiculaire fur CD, elle fera, par elle fera, par la precedente Propofition, plus courte que la ligne AB, & en même temps plus longue que la ligne GH, par la quatriéme Propofition du premier Livre, à plus forte raifon la ligne GH, fera-t-elle plus courte que la ligne AB.

TROISIEME PROPOSITION.

Si une même ligne comme AB, eft perpendiculaire aux deux lignes CD, EF; toute autre ligne comme GH, qui fera perpendiculaire fur CD, ou EF, fera perpendiculaire fur l'autre, & de plus fera égale à la perpendiculaire AB.

Car aïant me

I

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bliques fur la ligne AB, prolongée en 1, puifque la ligne AG, lui eft fuppofée perpendiculaire. Cela étant, il s'enfuit, 1°. par la premiere Propofition de ce Livre, que la ligne GH, eft égale à la ligne perpendiculaire AB. Car fi l'on ajoute la moindre portion à la ligne AB, ou fi on en retranche la moindre partie, les lignes AB, GH, deviendront inégales. Si, par exemple, l'on fuppofe que la ligne MGL, en ait retranché la portion AL, le refte LB, fera plus petit que GH, par la premiere Propofition; & fi l'on fuppofe au contraire que la

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