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TROISIE'ME PROPOSITION. En deux Figures semblables quelconques, le pea rimetre, c'est-à-dire, le circuit de l'une est au perimetre de l'autre, comme le côté de l'un et au côté homologue de l'autre. Soit la Figure ABCDE,

B semblable à la Figure FGHIK.

A Puisque ces Figures sont semblables ; c'est-à-dire que leurs An

E

D gles sont égaux chacun à cha

G

H cun ; il s'ensuit, à causé des triangles semblables,ausquels F on peut resoudre ces deux Figures, que le côté AB, est au cô

K té FG, comme le

I côté BC, est au côté GH, & comme le côté CD, est au côté HI, & comme le côté DE, est au côté IK, & comme le côté EA, est au côté KF; donc componendo , il s'ensuit que tous les côtés de l'un pris ensemble , sont à tous les côtés de l'autre pris ensemble, comme le côté AB, est à son homologue FG.

QUATR I E'M E PROPOSITION. Toute Figure réguliere peut être inscrite & cirs conscrite au cercle,

Güj

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A

G

Car', par exemple, l'hexagone ACEGIL; peut etre inscrit au cercle , puisque l'on peut, déja bien certainement faire passer un Ik cercle par les 3 points ACE, par la seconde Proposition du troisiéme Livre ; ce cercle aura pour centre, un point comme N, & passera necessairement par les autres Angles du Polygone, puisque l'on suppose tous les côtés égaux, qui par consequent doivent être cordes égales du même cercle, & également éloignées du centre.

Ce même Polygone peut être circonfcrit, puisqu'on peut mener du centre N, des perpendiculaires sur chacun de ses côtés, comme NF, sur le côté EG, & que ces perpendiculaires étant toutes égaies, parce qu'elles mesurent la distance des côtés égaux ou cordes égales à l'égard du centre N; l'on peut de ce centre N, décrire un cercle qui passera par les extremités des perpendiculaires , & qui aura pour tangentes les côtés, ou cordes de l'autre cercle.

CINQUIE’ME PROPOSITION.

En la Figure ci-dessus, la ligne NF, par exemple, s'appelle Raïon droit de la Figure; la ligne NE, s'appelle tout court , le Raion de la Figure, Or il est visible qu'en toutes Figures régulieres comparées entre elles, le Raion droit est au Raion droit, comme le Raïon eft au Raion, & comme le côté est au côté, & comme le perimetre est au pe

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rimetre : Car les deux Figures regulieres étant sem blables, l'on a déja vû par la troisiéme Proposition, que le perimetre eft au perimetre, comme le côté au côté. A l'égard du Raion droit comparé au Raion droit, & du Raion comparé au Raion, la même proportion s'y doit trouver , parce qu'il se forme par-tout des triangles semblables; par exem. ple, le triangle ENF, est femblable au triangle ONP, & par consequent tous les côtés sont proportionels; donc NE est à No, comme NF est à NP.

COROLLAIRE.

Les circonferences sont entre elles comme leurs Raions ; car on les peut confiderer comme les Pos lygones réguliers d'une infinité de côtés, & par la precedente Proposition, le perimetre est au perimetre; c'est-à-dire, la circonference à la circonference, comme le Raïon est au Raïon.

Ce Corollaire joint à la sixiéme Proposition du troisiéme Livre, est le principal fondement de la Statique. Je m'explique.

Je suppose une bas lance , comme ABC, dont le point fixe est B, & les deux branches BA, BC, éga

G les : si l'on attache A

I deux poids d'une li

н yre chacun aux deux points A&C, on con

M çoit clairement qu'ils doivent demeurer dans un parfait équilibre, car pour faire monter en une seconde de

temps, si vous voulés , le poids

D

D

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K

€, jufques en L, il
faudroit que le poids
A, descendît jusques
en M; ainfi pendant
le même temps que le
corps C, posant une A

I livre, décriroit l'arc

H ÇL, le corps. A, pesant une livre, décri- ja roit l'arc A M. Or ces deux arcs sont égaux à cause de l'égalités des Angles opposés aux sommets ABM, LBC, & de l'égalité des Raïons AB, BC; donc il y auroit égalité de mouvement de part & d'autre , puisque le même poids t, dans le même temps, décriroit le même chemin; ainsi le poids A, uïant autant de force pour descendre que le poids C, de resistance pour monter , leurs forces sont parfaitement balancées, & ils doivent demeurer en équis libre, ce que l'experience justifie.

Mais si au-lieu d'attacher le poids A, d'une li, vre au point A, on l'attachoit au point :F, que je suppose également éloigné des points , B, pour lors l'équilibre seroit manifestement rompu, parce que le Raïon FB, n'étant que la moitié du Raïgn B C, l'arc FG D, n'est que la moitié de l'arc CHE, quoiqu'ils aïent l'une & l'autre pareil nombre de degrez; mais comme la grande circon: ference est double de la petite, à cause qu'un Raion est double de l'autre, le corps C, pesant une livre descendant au point E, fera le double du chemin que fait le corps F, montant au point D. Or deux corps étant égaux en poids , si l'un fait le double du chemin que fait l'autre dans le même temps, il faut que celui qui fait le double

du chemin, ait le double de mouvement ; donc il y aura du côté du poids C, un mouvement double du mouvement qu'aura le poids F; donc il aura pour descendre le double de la force, que le poids F, aura pour lui resister; donc il descendra en effet & rompra l'équilibre,

Mais si au-lieu d'attacher au point C, un poids d'une livre, je m'avise d'y attacher un poids de demilivre, je dis que le poids F d'une livre , & ce nouyeau poids C, d'une-demi livre, doivent rester en équilibre , parce qu'il y aura de part & d'autre égalité de mouvement.

Car l'on conçoit clairement que fi deux corps sont égaux en poids, & que l'un pendant une les conde, fasse le double du chemin que fait l'autre, il faut qu'il ait le double de mouvement, puisque la même masse se mouvant une fois plus vite dans le même temps, doit avoir une fois plus de force. Par le même principe, si un corps pesant une demis livre, fait pendant une seconde le double du chemin que fait un corps pesant une livre , il faut bien qu'il y ait de part & d'autre égalité de mouvement : car si le corps pesant-demi livre, avoit pesé une livre, & qu'il eût fait le double du chemin, l'on vient de voir qu'il auroit eu le double du mouvement; donc ne pesant que demi-livre, & faisant le double du chemin, il a autant de mouvement que le corps pesant une livre, qui n'en faig que la moitié. Or dans la Figure, l'arc CHE, est double de l'arc FGD, parce qu'un Raion est double de l'aure; donc si le poids en E, n'est que la moitié du poids en D, il y aura égalité de mouvement, & par consequent équilibre.

D'où fuit cette Proposition fondamentale des Méchaniques,

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