dans l'espace ren B fermé par les cô tés, un point à difcretion, comme A, & en tirer des lignes à chacun des Angles; il eft vifible qu'il fe formera autant de Triangles, que la Figure a de côtés. SECONDE PROPOSITION. Tous les Angles d'un Polygone quelconque font égaux à autant d'Angles droits, que le double de fes côtés moins quatre. Car aïant choifi le point A, dans la Figure, & l'aïant partagée en triangles, les trois Angles de chacun de ces triangles, par exemple, du triangle CAB, valent deux Angles droits, par la cinquiéme Propofition du quatriéme Livre, parce que le triangle ne differe pas d'un Angle confideré avec fa bafe; & que tout ce que l'on a démontré d'un Angle avec fa bafe, eft démontré pour le triangle, Donc tous les Angles des triangles qui compofent la Figure, valent autant de fois deux Angles droits, qu'il a de côtés; & fi l'on en ôte tous les Angles qui ont leur fominet au point A, & qui valent enfemble quatre Angles droits, par la feconde Propofition du quatrième Livre, le refte sera la somme des Angles formés par les côtés du Polygone; donc, &c, TROISIEME PROPOSITION. En deux Figures femblables quelconques, le pe rimetre, c'est-à-dire, le circuit de l'une eft au perimetre de l'autre, comme le côté de l'un eft au côté homologue de l'autre. Soit la Figu re ABCDE, femblable à la Figure FGHIK. Puifque ces Figures font femblables; c'eft-à-dire que leurs Angles font é A gaux chacun à cha côté BC, eft au côté GH, & comme le côté CD, eft au côté HI, & comme le côté DE, eft au côté IK, & comme le côté EA, eft au côté K F; donc componendo, il s'enfuit que tous les côtés de l'un pris enfemble, font à tous les côtés de l'autre pris enfemble, comme le côté „AB, est à son homologue FG. QUATRIEME PROPOSITION. Toute Figure réguliere peut être infcrite & cir confcrite au cercle, G üj Α Car, par exemple, T'hexagone ACEGIL, peut être infcrit au cercle, puifque l'on peut déja bien certainement faire paffer un L cercle par les 3 points ACE, par la feconde. Propofition du troifiéme Livre; ce cercle aura pour centre, un I 機 point comme N, & paffera neceffairement par les autres Angles du Polygone, puifque l'on fuppofe tous les côtés égaux, qui par confequent doivent être cordes égales du même cercle, & également éloignées du centre. Ce même Polygone peut être circonfcrit, puifqu'on peut mener du centre N, des perpendiculaires fur chacun de fes côtés, comme NF, fur le côté EG, & que ces perpendiculaires étant toutes égales, parce qu'elles mefurent la diftance des côtés égaux ou cordes égales à l'égard du centre N; l'on peut de ce centre N, décrire un cercle qui paffera par les extremités des perpendiculaires, & qui aura pour tangentes les côtés, ou cordes de l'autre cercle. CINQUIEME PROPOSITION. En la Figure ci-deffus, la ligne NF, par exemple, s'appelle Raïon droit de la Figure; la ligne NE, s'appelle tout court, le Raion de la Figure, Or il eft vifible qu'en toutes Figures régulieres comparées entre elles, le Raion droit eft au Raion droit, comme le Raïon eft au Raïon, & comme le côté eft au côté, & comme le perimetre eft au pe rimetre: Car les deux Figures regulieres étant femblables, l'on a déja vû par la troifiéme Propofition, que le perimetre eft au perimetre, comme le côté au côté. A l'égard du Raïon droit comparé au Raion droit, & du Raion comparé au Raïon, la même proportion s'y doit trouver, parce qu'il feforme par-tout des triangles femblables; par exem ple, le triangle ENF, eft femblable au triangle ONP, & par confequent tous les côtés font proportionels; donc NE eft à NO, comme NF eftà NP. COROLLA IRE Les circonferences font entre elles comme leurs Raïons; car on les peut confiderer comme les Pólygones réguliers d'une infinité de côtés, & par la précedente Propofition, le perimetre eft aus perimetre; c'est-à-dire, la circonference à la circonfe rence, comme le Raïon eft au Raion. Ce Corollaire joint à la fixiéme Propofition du troifiéme Livre, eft le principal fondement de la Statique. Je m'explique. Je fuppofe une balance, comme ABC, dont le point fixe eft B, & les deux branches BA, BC, égales: fi l'on attache A deux poids d'une livre chacun aux deux G D H dans un parfait équilibre, car pour faire monter en une feconde de temps, fi vous voulés, le poids , jufques en L, il il faudroit que le poids A, defcendit jufques en Mainfi pendant le même temps que le corps C, pefant une A livre, décriroit l'arc CL, le corps A, pe-ist fant une livre, décri-l roit l'arc AM. Orces. M deux arcs font égaux H à caufe de l'égalités des Angles opposés aux fommets ABM, LBC, & de l'égalité des Raiïons AB, BC; donc il y auroit égalité de mouvement de part & d'autre, puifque le même poids, dans le même temps, décriroit le même chemin; ainfi le poids A, aïant autant de force pour defcendre que le poids C, de refiftance pour monter, leurs forces font parfaitement balancées, & ils doivent demeurer en équi→ libre, ce que l'experience juftifie. Mais fi au-lieu d'attacher le poids A, d'une lis vre au point A, on l'attachoit au point F, que je fuppofe également éloigné des points A, B, pour lors l'équilibre feroit manifeftement rompu, parce que le Raïon FB, n'étant que la moitié du Raion BC, l'arc FG D, n'eft que la moitié de l'arc CHE, quoiqu'ils aïent l'une & l'autre pareil nombre de degrez; mais comme la grande circonference eft double de la petite, à caufe qu'un Raion eft double de l'autre, le corps C, pefant une livre defcendant au point E, fera le double du chemin que fait le corps F, montant au point D. Or deux corps étant égaux en poids, fi l'un fait le double du chemin que fait l'autre dans le même temps, il faut que celui qui fait le double |