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au chemin, ait le double de mouvement; donc il y aura du côté du poids C, un mouvement double du mouvement qu'aura le poids F; donc il aura pour defcendre le double de la force, que le poids F, aura pour lui refifter; done il defcendra en effet & rompra l'équilibre.

Mais fi au-lieu d'attacher au point C, un poids d'une livre, je m'avife d'y attacher un poids de demilivre, je dis que le poids F d'une livre, & ce nouyeau poids C, d'une-demi livre, doivent refter en équilibre, parce qu'il y aura de part & d'autre égalité de mouvement.

Car l'on conçoit clairement que fi deux corps font égaux en poids, & que l'un pendant une feconde, faffe le double du chemin que fait l'autre, il faut qu'il ait le double de mouvement, puifque la même masse se mouvant une fois plus vite dans le même temps, doit avoir une fois plus de force. Par le même principe, fi un corps pefant une demilivre, fait pendant une feconde le double du chemin que fait un corps pefant une livre, il faut bien qu'il y ait de part & d'autre égalité de mouvement: car fi le corps pefant-demi livre, avoit pefé une livre, & qu'il eût fait le double du chemin, l'on vient de voir qu'il auroit cu le double du mouvement; donc ne pefant que demi-livre, & faifant le double du chemin, il a autant de mouvement que le corps pefant une livre, qui n'en fait que la moitié. Or dans la Figure, l'arc CHE, eft double de l'arc FGD, parce qu'un Raion eft double de l'aure; donc fi le poids en E, n'eft que la moitié du poids en D, il y aura égalité de mouvement, & par confequent équilibre.

D'où fuit cette Propofition fondamentale des Méchaniques.

Deux poids font en équilibre, lorfqu'ils font en Raifon réciproque de leurs diftances au point fixe.. C'eft-à-dire, lorfque le poids F, eft au poids en C, comme la distance BC, eft à la diftance BF.

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Déterminer l'Angle au centre, l'Angle de la Fi gure, & l'Angle que le Raion fait fur le côté de

tout Polygone.

19. Pour avoir l'An

gle au centre; c'est-àdire, l'Angle BD C, il

B

F

eft vifible qu'il n'y a qu'à divifer la circon

C

ference par le nombre

D

ne; ici, par exemple, par 6.

des côtés du Polygo→ ..

G

Pour avoir l'Angle

du Polygone; c'est-à

E

dire, l'Angle ABC, compris par deux côtés, il n'y a qu'à fouftraire de 180 degrés, l'arc foutenu par le côté, parce que tout Angle du Polygone, comme ABC, eft un Angle inferit, qui a pour me fure la moitié de l'arc fur lequel il eft appuïé; ici, par exemple, il a pour mefure l'arc AGE, c'eft-àdire, la demi-circonference, moins l'arc AFB, foutenu par le côté ¡A B.

A l'égard de l'Angle que le Raïon DB, fait fur le côté AB, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'Angle du Polygone.

PROBLEM E.

SEPTIEME PROPOSITION.

Inferire & circonferire au Cercle les Fgures régulieres.

Inferire un Hexagone. La corde qui en fait le côté, eft le Raion même du cercle, parce que joignant les deux Raions DB, DC, par la ligne B Cleur égale, il s'en forme un triangle équilateral, qui a par confequent trois Angles égaux, ce qui ne peut être que' chacun ne vaille 60 degrés, qui eft la fixiéme partie de la circonference, & partant le côté de l'He

xagone,

Inferire un Triangle. Il n'y a qu'à joindre, comme en la Figure, deux côtés de l'Hexagone par la corde AC, l'arc ABC, fera de 120 degrés, & partant le tiers de la circonference; ce qui donne le triangle infcrit AEC.

Inferire un Dodecagone. Il n'y a qu'à divifer la corde CH, de l'Hexagone en deux partie égales par la ligne DI; d'où s'enfuivra, par la troifiéme Propofition du troifiéme Livre, que l'arc CIH, fera auffi divifé en deux parties égales au point I, & par confequent que la corde CI, foutiendra 30 degrés, & fera côté du Dodecagone. En un mot, il eft aifé par ces pratiques de doubler un arc donné, ou de le divifer par la moitié, ce qui fournit une infinité de Polygones réguliers.

Inferire un Decagone. Il n'y a qu'à diviser le Raïon en moïenne & extrême Raifon, & prendre la plus grande partie, ce fera la corde d'un Angle de 36 degrés, par la fixiéme Propofition du feptiéme Livre; or 36 degrés fera la dixième partie de la cir

conference, ainfi cette corde fera côté du Deca gone.

Infcrire un Pentagone. Doublés l'arc du Decagone.

Inferire une Figure de 15 cotés. De l'arc de 60 degrés, ôtés l'arc de 36 degrés, refte l'arc de 24 degrés, qui eft la quinziéme partie de la circonference, & par confequent la corde qui le foutient, fera côté du Polygone cherché.

Pour circonfcrire les Figures infcrites. Il n'y a qu'à tirer par les fommets des Angles du Polygone; par exemple, par les points A, B, C, des tangentes qui fe rencontrant enfemble, formeront une Figure circonfcrite au cercle donné.

HUITIEME PROPOSITION.

En tout triangle, le plus grand Angle eft fou tenu par le plus grand côté, & le plus grand côté foutient le plus grand Angle,

Il n'y a qu'à faire paffer un cercle par les trois points qui forment les trois Angles; les trois Angles deviendront infcrits, & les trois côtés devien dront cordes; le refte s'enfuit.

Il eft bon de répeter ici, que tout ce que nous avons dit dans les Livres précedens, touchant un Angle avec fa bafe, convient au triangle qui n'est pas autre chofe. Par exemple, les triangles femblables ont les côtés homologues proportionels, &c.

NEUVIE'ME PROPOSITION.

En tout triangle, comme le Sinus d'un Angle eft au côté qui lui eft oppofé, ainfi le Sinus d'un au tre Angle eft au côté qui lui eft oppofé

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tés du triangle, les perpendiculaires AF, AE, AG; ces perpendiculaires paffant par le centre, couperont chaque côté, qui eft une corde, en deux parties égales aux points I, H, K, par la premiere Propofition du troifiéme Livre. D'ailleurs chacun des Angles du triangle étant infcrit, a pour mefure la moitié de l'arc fur lequel il eft appuïé; donc l'Angle infcrit BDC, est égal à l'Angle au centre BAF; de même l'Angle infcrit BCD, eft égal à l'Angle au centre BAE, & l'Angle CB D, égal à l'Angle CAG; or par la définition des Sinus, la ligne BI, eft Sinus de l'Angle BAF, parce qu'elle eft la moitié de la corde qui foutient le double de l'arc qui le mesure; par la même raison, CK eft Sinus de l'Angle CAG, & BH, Sinus de l'Angle B A E: ainfi BI, Sinus de l'Angle BAF, fera pareillement Sinus de l'Angle BDC, fon égal. On prouvera la même chofe des deux autres Angles du triangle infcrit; d'où s'enfuit vifiblement que BI, Sinus de l'Angle B DC, eft à BC, côté qui lui eft oppofé, comme CK, Sinus de l'Angle CBD, eft à CD, côté qui lui eft oppofé; puifque chacun des Sinus eft la moitié du côté; & ainfi de l'autre Angle D CB, dont le Sinus BH, eft moitié du côté B D.

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