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Deux poids sont en équilibre, lorsqu'ils sont en Raison réciproque de leurs distances au point fixe.. C'est-à-dire, lorsque le poids F, est au poids en C, comme la distance BC, est à la distance BF.

P R O B L E ME,

SIXIE'ME PROPOSITION.

Déterminer l'Angle au centre, l'Angle de 'la Fia gure , & l’Angle que le Raion fait sur le côté de tout Polygone. 19. Pour avoir l'An

B gle au centre; c'est-à

F dire, l'Angle BD C, il est visible qu'il n'y a

С qu'à diviser la circonference par le nombre

D des côtés du Polygone ;-ici, par exemple,

par 6.

Pour avoir l'Angle du Polygone; c'est-à

E dire , l'Angle ABC, compris par deux côtés, il n'y a qu'à soustraire de 180 degrés, l'arc soutenu par le côté, parce que tout Angle du Polygone, comme ABC, est un Angle inscrit, qui a pour mesure la moitié de l'arc sur lequel il est appuié; ici, par exemple, il a pour mesure l'arc Age, c'est-àdire , la demi-circonference, moins l'arc AFB, soutenu par le côté A B.

A l'égard de l’Angle que le Raïon DB, fait sur le côté AB, il n'y a qu'à prendre la moitié de l'An gle du Polygone.

PRO B L E M E.

SEPTIE'ME PROPOSITION.

Inscrire & circonscrire au Cercle les Fgures régulieres.

Inscrire un Hexagone. La corde qui en fait le côté, est le Raion même du cercle, parce que joignant les deux Raions DB, DC, par la ligne B C leur égale, il s'en forme un triangle équilateral, qui a par consequent trois Angles égatix, ce qui ne peut être que chacun ne vaille 60 degrés, qui est la fixiéme partie de la circonference, & partant le côté de l'Hexagone, Inscrire un Triangle

. Il n'y a qu'à joindre, comme en la Figure, deux côtés de l'Hexagone par la corde Ac, l'arc AB Č, fera de 120 degrés, & partant le tiers de la circonference; ce qui donne le triangle inscrit À EC.

Inscrire un Dodecagone. Il n'y a qu'à divifer la corde čH, de l'Hexagone en deux partie égales par la ligne DI; d'où s'ensuivra, par la troisiéme Proposition du troisiéme Livre, que l'arc CIH, sera aussi divisé en deux parties égales au point I,

au point I, & par consequent que la corde Či, soutiendra 30 degrés, & sera côté du Dodecagone. En un mot, il est aisé par ces pratiques de doubler un arc donné, ou de le diviser par la moitié, ce qui fournit une infinité de Polygones réguliers.

Inscrire un Decagone. Il n'y a qu'à diviser le Raïon en moienne & extrême Raison, & prendre la plus grande partie, ce sera la corde d'un Angle de 36 degrés, par la sixiéme Proposition du septiéme Liyre; or 36 degrés sera la dixiéme partie de la cir

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24 de

conference, ainsi cette cordę sera côté du Decante gone.

Inscrire un Pentagone. Doublés l'arc du Decans gone.

Inscrire une Figure de 15 cotés. De l'arc de 60 degrés , ôtés l'arc de 36 degrés, reste l'arc de grés, qui est la quinziéme partie de la circonference, & par consequent la corde qui le soutient, sera côté du Polygone cherché.

Pour circonscrire les Figures inscrites. Il n'y a qu'à tirer par les fommers des Angles du Polygone; par exemple, par les points A, B, C, des tangentes qui se rencontrant ensemble, formeront une Figure circonscrite au cercle donné,

HUITIE'ME PROPOSITION,

En tout triangle, le plus grand Angle est sous tenu par le plus grand côté, & le plus grand côté foutient le plus grand Angle.

Il n'y a qu'à faire passer un cercle par les trois points qui forment les trois Angles; les trois Ane gles deviendront inscrits , & les trois côtés devien dront cordes; le reste s'ensuit.

Il est bon de répeter ici, que tout ce que nous avons dit dans les Livres précedens, touchant un Angle avec sa base, convient au triangle qui n'est pas autre chose. Par exemple, les triangles sembla bles ont les côtés homologues proporționels , &c,

NEUV I E'ME PROPOSITION,

En tout triangle, comme le Sinus d'un Angle est au côté qui lui eft opposé, ainsi le Sinus d'un aus tre Angle est au côté qui lui est opposée

Soit le triangle BCD, par les trois points qui

B

F forment les sommets

I! des Angles. Soit mené lc cercle B FCE, du

H centre A; soient mé E nées aux trois fom-. mets, les trois lignes LAB, AC, AD; & du même centre soient

D menées sur les trois côtés du triangle, les perpendiculaires AF,AE, AG; ces perpendiculaires passant par le centre, couperont chaque côté, qui est une corde , en deux parties égales aux points I, H, K, par la premiere Proposition du troisiéme Livre. D'ailleurs chacun des Angles du triangle étant inscrit, a pour mesure la moitié de l'arc sur lequel il est appuié; donc l'Angle inscrit BDC, est égal à l'Angle au centre B A F; de même l’Angle inscrit B C D, est égal à l'Angle au centre BAE, & l’Angle CB D, égal à l'Angle CAG; or par la définition des Sinus, la ligne B1, est Sinus de l'Angle BAF, parce qu'elle est la moitié de la corde qui soutient le double de l'arc qui le mesure; par la même raison, CK est Sinus de l'Angle CAG, & B H, Sinus de l'Angle B A E: ainsi BI, Sinus de l’Angle BAF, sera pareillement Sinus de l'Angle BDC, son égal. On prouvera la même chose des deux autres Angles du triangle inscrit; d'où s'enfuit visiblement que BI, Sinus de l'Angle B DC, est à BC, côté qui lui est opposé, comme CK, Sinus de l’Angle CBD, eft à CD, côté qui lui est opposé; puisque chacun des Sinus est la moitié du côté; & ainfi de l'autre Angle DCB, dont le Sinus BH, elb moitié du côté BD.

BF

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H

tus,

Il faut observer que lorsque l'un des trois angles du triangle in

Е, scrit BCD, eft ob

ainsi que l'est dans cette derniere figure D! l'Angle CBD; la ligne ČK, ne laisse

pas

d'etre son sinus parce qu'elle est la moitié de la corde DC, qui foûtient l'arc CLD, double de celui qui mesure l'angle obtus CB.D; mais comme, à parler précisément, un angle

M obtus n'a point de si

B nus, parce qu'on ne peut pas

faire tomber de l'un de ses

D côtés, une perpendiculaire sur l'autre, à moins que de le prolonger vers le sommet ; alors l'on prend pour finus de l'angle obrus CBD, le sinus de son complément DBM; c'est-à-dire de l'angle aigu, qui fait deux angles droits avec l'obtus, étant visible que DM, perpendiculaire sur BC, prolongée en M, eit sinus de l'angle DEM, par la définition., Or dans le dernier cercle, l'angle DLC, aigu, eft le complément de l'obtus CBD; puisqu'ils valent ensemble la demi-circonference; c'est donc le sinus de l'angle DLC, qu'il faut prendre

pour sinus de l'angle CBD; or CK, est finus de l'angle DLC, qui est égal à l'angle CAG; donc

est finus de l'obtus CBD ; le reste s'ensuit comme dessus.

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