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DIXI E'ME PROPOSITION. Si un Pentagonc est inscrit au cercle , que l'on joigne par une corde deux côtés voisins, & par une autre corde un de ces côtés ayec son voisin; ces deux cordes se coupent de maniere, que leur plus grand segment est égal au côté du Pentagone. · Soient les deux côtés CA, AB, joints par А

B la corde CB, & les deux côtés AB, BE, par la corde A E; je dis que ces deux cordes fe coupent au point F, de telle sorte que CF, ou FE, font égales au côté du Pen

D tagone.

L'angle AEB, est un angle de 36 degrés , puisqu'il est appuie sur un arc de 72. L'angle CBE, est un angle de 72 degrés, puisqu'il est appuié sur deux arcs de 72. Donc l'angle BFE, est aussi de 72 degrés, puisque ces trois angles du triangle B E F, en doivent valoir 180 ; donc le triangle BEF, est isoscele ; donc FE, est égale à BE, côté du Pentagone. On démontrera la même chose de CF.

I I. SECTION.

De la mesure de l'Aire des Figures Rectilignes.

ONZI E'ME PROPOSITIO N.

L'Aire d'un Re&tangle se trouve en multipliant l'un de fes côtés par l'autre.

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Soit le Rectangle ABCD, dont la base ou longueur foit CD, & la hauteur soit AC; pour avoir l'Aire ou capacité de cette Figure , il n'y a qu'à considerer sa formation ; il est certain que si la ligne CD, coule parallelement à foi-même le long de la ligne CA, jusqu'à ce qu'elle concoure avec la ligne AB; elle décrira ou couvrira , si vous voulés, la surface du Rectangle ; donc la base CD, est autant de fois contenue dans la hauteur CA, qu'il y a de points dans cette ligne CA ; donc en multipliant la ligne CD, par la ligne CA, c'est-à-dire a la base par la hauteur,

la hauteur, on aura l'Aire du Rectangle. En nombres, si la ligne CD, ou AB, est de onze toises, & la ligne Ac, de deux, multipliant 11 par 2, le produit 22 toises, sera l’Aire du Rectangle.

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Tout parallelogramme est égal au Rectangle , qui a même base & même hauteur que lui. Soit le parallogramme ABCD, aiant pour

bare CD, sa hauteur le mesure

par

la

perpendiculaire à fa base, comme D F; je dis que le Rectangle CDFE, aïant pour base CD, & pour hauteur DF, OU CE lui est égal.

Car la perpendiculaire DF, étant égale à la perpendiculaire CE, & l'oblique DB, à l'oblique ci, par constru&ion, l'éloignement de perpendi

culo

Cule B F
E Ą,

B
fera égal
à l'éloi-
gnement

de per

pendicuje AE; donc le triangle DFB, est c

D tout égal au triangle CEA; fi donc je retranche le triangle DBF, du parallelogramme, & que j'y ajoute d'autre part le triangle CE A, il me viendra le Re &tangle CDFĖ, égal au parallelogramme, parce que le Rectangle n'est autre chose que le Trapeze CDFÀ, joint au triangle CEA, & que le parallelogramme n'est autre chose que le même Trapeze Č DF A, joint au triangle D FB, égal au trians gle CEA.

Pour s'accoûtumer l'esprit à ces vérités, considerons le Rectangle & le parallelograinme dans une autre situation Soit un parallelogramme

II GHIK, què GĦ, soit la base; pour mesurer sa hauteur, il faut mener sur

N la base GH, une perpen

S diculaire , comme HL, O déterminée par le côté K I prolongé ; je dis

que

le Rectangle GHLM, qui a GH pour base , & HL

Harri pour hauteur , c'est-à-dire, qui a même base & même hauteur que le parallelogramme G H KI, lui est égals

H

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mens

Car le triangle GMI,

M L I ki est tout égal au triangle HLK, à cause de l'égalité des perpendiculaires

N GM, HL, des obliques

S GI, HK, & des éloigne- 0

Р du perpendicule MI, LK.

Or pour avoir le Rectangle MLGH, j'ôte du G

H... triangle Gmi, le petit triangle ILN, & j'y ajoûte le triangle GHN.

Pour avoir te parallelogramme G HK I, j'ôtc du triangle HLK, égal au triangle GMI, le petit triangle ILN, & j'y ajoûte le triangle GH N; donc le parallelogramme est égal au Rece tangle.

L'on pourroit fans tant de circuit, démontrer cette Proposition comme la précedente : car si la ligne GH, qui sert de base au Rectangle & au parallelogramme, est prolongée à discretion vers le point N, & que l'on laisse couler la ligne GN, parallelement à elle-même le long de la perpendim culaire, la portion GH, sera autant de fois contes nuë dans le Rectangle, qu'il y a de points dans la perpendiculaire HL; & cette même portion GH, ou des portions ses égales , comme P l, seront autant de fois contenuës dans le parallelogramme, qu'il y a de points dans la perpendiculaire; puisque dans le temps que la base prolongée GN, arrive au point 0, & que les côtés du Rectangle coupent la portion OS; les côtés du parallelogramme coupent la portion P Q, qui est égale à os, parce que o s'est égale à GH, & GH égale à PQ, à cause des paralleles; donc la surface GHLM, est rema:

a de

part & d'aus

plie & formée par autant de lignes égales à GH, que la surface G HK1; donc il

у tre, somme égale de lignes égales, parce que la perpendiculaire LH, détermine cette somme, telle qu'elle puisse être, à une parfaite égalité; donc le parallelogramme est égal au Rectangle : Cette méthode de démontrer, se nomme la Geometrie des Indivisibles. La fécondité en est admirable , & nous en donnerons encore quelques Exemples.

TREI ZIEME PROPOSITION. Tout parallelogramme peut être divisé en deux triangles tout égaux; d'où s'ensuit que tout triangle cft moitié d'un parallelogramme : la démonstration est claire d'ellemême, puisqu'en tirant d'un Angle à l'autre, une ligne qu'on appelle Diagonale, les trois côtés de chacun des deux triangles sont nécessairement égaux.

COROLL AIRE. L’Aire du triangle est la moitié du parallelogramme, & par consequent du Rectangle qui a même base & même hauteur.

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COROLLAIRÉ I I.

Les triangles qui ont leur Sommet entre mêmes paralleles & la base commune, font necessairement égaux ; autrement, les triangles qui ont même bas Te & même hauteur, font égaux.

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