Il faut obferver que lorfque l'un des trois angles du triangle infcrit B CD, est obtus, ainfi que l'eft dans cette derniere figure D l'Angle CBD; la ligne CK, ne laiffe pas d'être fon finus

parce

qu'elle eft la moitié de

la corde DC, qui foû

tient l'arc CLD, dou

ble de celui qui mefure l'angle obtus CBD; mais

comme, à parler précifément, un angle

obtus n'a point de fi

nus, parce qu'on ne peut pas faire tomber de l'un de fes côtés, une perpendi

D

B

culaire fur l'autre, à moins que de le prolonger vers le fommet; alors l'on prend pour finus de l'angle obtus CBD, le finus de fon complément DBM, c'eft-à-dire de l'angle aigu, qui fait deux angles droits avec l'obtus, étant vifible que DM, perpendiculaire fur BC, prolongée en M, eft finus de l'angle DEM, par la définition. Or dans le dernier cercle, l'angle DLC, aigu, eft le complément de l'obtus CBD3 puifqu'ils valent ensemble la demi-circonference; c'eft donc le finus de l'angle DLC, qu'il faut prendre pour finus de l'angle CBD ; or CK, eft finus de l'angle DLC, qui eft égal à l'angle CAG; donc CK, eft finus de l'obtus CBD; le refte s'enfuit comme deffus.

DIXIE'ME PROPOSITION.

B

Si un Pentagone eft infcrit au cercle, que l'on joigne par une corde deux côtés voifins, & par une autre corde un de ces côtés avec fon voifin; ces deux cordes fe coupent de maniere, que leur plus grand segment est égal au côté du Pentagone. Soient les deux côtés CA, AB, joints par. la corde CB, & les deux côtés AB, BE, par la corde AE; je que ces deux cordes fe coupent au point F, de telle forte que CF, ou FE, font égales au côté du Pentagone.

dis

D

L'angle AEB, eft un angle de 36 degrés, puifqu'il eft appuié fur un arc de 72. L'angle CBE, eft un angle de 72 degrés, puifqu'il eft appuïé fur deux arcs de 72. Donc l'angle BFE, eft auffi de 72 degrés, puifque ces trois angles du triangle BEF, en doivent valoir 180; donc le triangle BEF, eft ifofcele; donc FE, eft égale à BE, côté du Pentagone. On démontrera la même chofe de CF.

II. SECTION.

De la mefure de l'Aire des Figures Rectilignes.

ONZIE ME PROPOSITION.

L'Aire d'un Rectangle fe trouve en multipliant l'un de fes côtés par l'autre.

Soit le Rectangle ABCD, dont la base ou longueur foit CD, & la hauteur foit AC; pour avoir l'Aire ou capacité de cette Figure, il n'y a qu'à confiderer fa formation; il eft certain que fi la ligne CD, coule parallelement à foi-même le long de la ligne CA, jufqu'à ce qu'elle concoure avec la ligne AB; elle décrira ou couvrira, fi vous voulés, la furface du Rectangle ; donc la bafe CD, est autant de fois contenue dans la hauteur CA, qu'il y a de points dans cette ligne CA; donc en multipliant la ligne CD, par la ligne CA, c'est-à-dire la bafe par la hauteur, on aura l'Aire du Rectangle. En nombres, fi la ligne CD, ou AB, eft de onze toifes, & la ligne AC, de deux, multipliant 11 par 2, le produit 22 toises, fera l'Aire du Rectangle.

A

2

11

В

C

D

DOUZIE ME PROPOSITION.

Tout parallelogramme eft égal au Rectangle, qui a même bafe & même hauteur que lui.

Soit le parallogramme ABCD, aïant pour base CD, fa hauteur fe mefure par la perpendiculaire à fa base, comme DF; je dis que le Rectangle CD FE, aïant pour bafe CD, & pour hauteur D F, ou CE

lui eft égal.

Car la perpendiculaire DF, étant égale à la perpendiculaire CE, & l'oblique DB, à l'oblique CA, par conftruction, l'éloignement de perpendi

cule

cule BF fera égal

à l'éloignement

de perpendicule AE; donc le triangle DFB, eft C

D

tout égal au triangle CEA; fi donc je retranche le triangle DBF, du parallelogramme, & que j'y ajoute d'autre part le triangle CEA, il me viendra le Retangle CDFE, égal au parallelogramme, parce que le Rectangle n'eft autre chofe que le Trapeze CDFA, joint au triangle CEA, & que le parallelogramme n'eft autre chofe que le même Trapezę CDFA, joint au triangle DFB, égal au triangle CEA.

Pour s'accoûtumer l'efprit à ces vérités, confiderons le Rectangle & le parallelogramme dans une autre fituation.

la bafe GH, une perpen-
diculaire, comme HL, O
déterminée
par le côté KI

prolongé ; je dis que le

Rectangle GHL M, qui a

GH pour base, & HL G

S

P

pour hauteur, c'est-à-dire, qui a même base & même hauteur que le parallelogramme G H KI, lui eft égal

H

Or pour avoir le Rectan

gle MLGH, j'ôte du G

triangle G MI, le petit triangle ILN, & j'y ajoûte le triangle GHN.

Pour avoir le parallelogramme G H K 1, jôte du triangle H L K, égal au triangle G M I, le petit triangle IL N, & j'y ajoûte le triangle GHN; donc le parallelogramme eft égal au Rectangle.

L'on pourroit fans tant de circuit, démontrer cette Propofition comme la précedente: car fi la ligne GH, qui fert de bafe au Rectangle & au parallelogramme, eft prolongée à difcretion vers le point N, & que l'on laiffe couler la ligne GN, parallelement à elle-même le long de la perpendi culaire, la portion GH, fera autant de fois contenuë dans le Rectangle, qu'il y a de points dans la perpendiculaire HL; & cette même portion GH, ou des portions fes égales, comme PQ, feront autant de fois contenues dans le parallelogramme, qu'il y a de points dans la perpendiculaire; puifque dans le temps que la bafe prolongée GN, arrive au point 0, & que les côtés du Rectangle coupent la portion OS; les côtés du parallelogramme coupent la portion PQ, qui eft égale à OS, parce que Os eft égale à GH, & GH égale à PQ, à cause des paralleles; donc la furface G HL M, eft rem