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Le triangle CAB, est moi

Α. tié d'un Rectangle, qui a BC,

, &

D

pour base pour hauteur la perpendiculaire,

qui mesure la dif-.... tance des paral

B

с leles. Or le triangle CBD, est moitié du même Ricardo tangle; donc l'Aire des deux Rectangles est égales cela est aisé à démontrer encore par les indivisibles,

QUATORZIE’M E PROPOSITION., En tout triangle Rectangle, le quarré du grand côté qu'on appelle Hypotenuse, est égal aux quarrés des deux côtés. Voila cette admirable Propofition, dont on attribue l'invention à Pythagore, & qui est d'un usage infini. Soit le triangle rectangle

K

F BAC, je dis que ré B C D E,

A

B est égal aux deux autres.

Du Sommet de l'Angle droit, soit tirée la ligne AH, parallele au côté BE; & du même Sommet "A , soient tirées aux extremités du côté DE, les lignes AD, A E; des extremités du

le quar

EL

côté CB, soient tirées les lignes CF, BG, terminées par les côtés BF, CG.

La ligne AH, divise le quarré en deux Rectangles. Il faut prouver que le petit Ređangle IB EH, est égal au quarré Ā KFB, & que le Rectangle ICDH, est égal au quarré CALG.

Pour le prouver, je considere le triangle BCF, & le triangle E AB; le triangle B CF, est moitié du quarré AKFB, puisqu'il a même base & même hauteur; car le triangle B C F, peut être consideré comme enfermé entre les paralleles FB, KC, aïant son Sommet en C, BF, pour base, & AB, pour hauteur , puisque c'est la perpendiculaire qui mesure la distance des paralleles. Par la même raison, le triangle E AB, est la moitié du Rectangle I BEH, puisque BE, est base du Rectangle & du triangle, & que BI, est hauteur de l'un & de l'autre. Si donc ces deux triangles BCF, E A B sont égaux , leur double le sera ; or ces deux triangles sont égaux en effet, car le côté CB, du triangle BCF, est égal au côté BE, du triangle E AB, & le côté B F, du premier triangle, est égal au côté A B du second, puisqu'ils font côtés de quarrés. Or l'Angle C BF, compris par les côtés CB, BF, est égal à l’Angle E B A, compris par les côtés À B, BE; parce que chacun de ces Angles, est composé d'un Angle droit & d'un Angle commun CB A; donc la bafe CF, est égale à la base A E, par la neuviéme Proposition du quatriéme Livre; donc les deux triangles B CF, E AB, font tout égaux; donc leurs doubles sont égaux, c'est-à-dire, le quarre AKFB, égal au Rectangle IB EH: on prouvera de même que les triangle CAD, CBG, Cont tout égaux, & par consequent leurs doubles;

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c'est-à-dire , le quarré CALG, égal au Re&tangle ICDH; donc le quarré BCDE, composé de deux Rectangles , est égal aux deux quarrés A K FB. ÇALG. Ce qu'il falloit démontrer.

Il est aisé de faire voir que cette admirable Proposition, n'est qu'un Corollaire des lignes proportionelles qui fournissent la Proposition suiyante plus générale.

QUINZIE'M E PROPOSITION. Si une ligne comme AB, est divisée en deux parties

E au point C, & que deux au

G tres li

C gnes ,

A. comme EF, GH, soient Moïennes Proportionelles; l'une comme EF, entre la toute AB, & fa petite portion AC; l'autre, comme GH, entre la toute AB, & sa grande portion CB; le quarré de la toute AB, sera égal aux quarrés des Moïennes Proportionelles EF, GH.

Il faut se souvenir qu'il a été démontré, que fi une ligne est Moienne Proportionelle entre deux autres, le quarré de la Moienne est égal au Rectangle ou produit des Extrêmes ; c'est la proprieté de la Proportion Geometrique, qui convient à toutes Cortes de grandeurs, soit nombres, foit lignes, &c.

J'appelle la Ligne, AB....X
Le Segment

AC.....
Le Segment,

... Loe
La Moienne Proportionelle, EF....R.
L'autre,

GH....?

CB....

Puisque R, est Moïenne Proportionelle entre

& y, il s'ensuit que RR= xy, par la proprieté de la Proportion.

Puisque P est Moïenne Proportionelle entre

& 2, il s'ensuit que PP - X2, par la proprieté de la Proportion.

Donc RR+PP=xy-+ *2.

Or xy + x2. C'est x multiplié par 1+2; c'esta-dire, la ligne totale multipliée par ses Segmens ou par elle-même, ou, si vous voulés, c'est xx.

Donc RR-PPA XX.

C'est-à-dire, le quarré de la ligne AB, est égal aux quarrés des deux Moïennes Proportionelles E', G H.

COROLLAIRE.

Le qaarré de l'Hypotenuse est égal au quarré des deux côtés; car par

la neuviéme Proposition du fixiéme Livre, le côté AB, eft Moïen Pro- B portionel entre BD, & BC, & le côté AD, Moïen Proportionel entre BD, & CD.

Il suit de là, que tout triangle qui est tel que le quarré de fa base, est égal au quarré de ses deux côtés, est un triangle Rectangle ; car fi les côtés s'ouvroient pour faire un obtus, la base seroit plus grande, & s'ils s'approchoient, plus petite ; & par confequent son quarré feroit ou plus grand ou plus petit , que si l'Angle étoit droit,

H tij

I I. COROLLAIRE.

Les côtés du Decagone , du Pentagone, & de l'Hexagone inscrits dans le même cercle , peuvent toûjours être disposés en triangle Rectangle : il n'y a qu'à faire voir que le quarre du côté du Pentagone, est égal au quarré du côté de l'Hexagone, & au quarré du côté du Decagone.

Soit dans le cercle, le côté du Pentagone AB, du centre C, soient menés les Rajons AC, CB, qui par la septiéme Proposition de ce Livre, seront côtés de l'Hexagone, que l'arc qu'ils comprennent soit divisé en deux parties égales au point D, les lignes ou cordes AD, DB, feront côté du Decagone. Que l'arc AED, solltenu par un côté du Decagone, soit divisé en deux parties égales au point E, par le Raion CE, ce Raion coupera le côté du Pentagone au point i, & fera un Angle droit avec le côté du Decagone. Soit tirée la ligne ID.

Si je puis démontrer que CB, côté de l'Hexagone, çft Moienne Proportionelle entre AB, côté du Pentagone, & fa portion B 1, & que AD, côté du Decagone , eft Moïenne Proportionelle entre AB, & fa portion Al. Il s'ensuivra par notre quinziéme Propofition, que le quarré de la ligne AB, sera égal au quarré de la ligne BC, & au quarré de la ligne id D; or cela n'est pas

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difficile,

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