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Je considere le triangle Isolcele ACB, & le triangle Isoscele CIB; je trouve qu'ils sont semblables : car dans le grand triangle , l'Angle ACB, est de soixante & douze degrés par construction, puisque c'est la cinquiéme partie du cercle; les deux Angles sur la base AB, sont chacun de cinquantequatre degrés, puisqu'ils doivent faire ensemble cent huit degrés, & qu'ils doivent être égaux l'un à l'autre, à cause de l'égalité des côtés CA, CB; de même dans le triangle Isofcele C1 B, l'Angle CBI, est de cinquante-quatre degrés, puifqu'il ne differs

pas de l'Angle C B A; d'ailleurs l'Angle BCI, est aussi de cinquante-quatte degrés, puisqu'il est mesuré par l'arc EDEB, qui eft composé de l'arc DFB, de 36 degrés, à cause qu'il est foutenu par le côté du Decagone, & de l'arc DE, qui est par construđion la moitié de 36 degrés, c'està-dire 18; ainsi dans le triangle Ifofcele CIB, les deux Angles sur la base CB, valent chacun 54 degrés , & il en reste soixante & douze pour l'Angle de son Sommet CIB; donc les deux triangles Isosceles ACB, CBI, font semblables ; donc les deux côtés homologues sont proportionels ; donc AB, base du premier, eft à CB, base du second, comme CB, côté du premier, est à BI, côté du second ; donc CB est Moïenne Proportionelle entre AB, & BI.

Je dis en second lieu, que AD, est Moïenne Proportionelle entre AB, & ni.

Je confidere pour cela le triangle Isoscele ADB, & le triangle AID; je dis que ce dernier est Isoscele & semblable au triangle ADB.

Dans le triangle AD.B., chacun des Angles sur la base A B, eft de 18 degrés , puisqu'il a pour mefure la moitié de l'arc DFB, de 36 degrés;

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DFB

E

reste donc pour l’Angle
du Sommet ADB, 144
degrés,
Dans le triangle

AID, A c'est la même chose.

19. Il est Isosceļe, c'eftà-dire, que son côté AI, est égal à son côté ID, puisquç la perpendiculaire partage manifestement le triangle AID, en deux triangles Rectangles tout égaux.

39. L'Angle fur la base IAD, qui n'est pas different de l'Angle BAD, a pour mesure la moitié de l'arc DFB, & par consequent est de 18 degrés; donc l'autre Angle IDA, est aussi de 18 degrés , & l'Angle du Sommet AID, de 144; donc les deux triangles ADB, AID, sont semblables ; donc AB base du premier , eft à AD, base du second , comme AD, côté du premier, est à AI, côté du fecond; donc AD, eft Moienne Proportionelle entre AB, & Al.

Donc le quarré de la ligne AB, est égal au quarsé de la ligne BC, plus le quarré de la ligne AD.

Donc si l'on dispose la ligne AD, & la ligne BC; en sorte qu'elles forment un Angle droit, la ligne AB, en fera la bafe. Ce qu'il fallait démontrer.

Cela fournit une construction pour inscrire le côté du Pentagone. La voici.

P R O B L E M E.

SEIZI E'ME PROPOSITION. Inscrire dans un cercle donné le côté du Pentagone. Soient deux diametres fe coupant à Angles droite

3.

au centre C; divisés le

B
Raion BC, en deux par-
ties égales au point D; ti-
rés la ligne AD; prenés

D
fur eļle DE, égale à DC, E

IC
puis prenés FC, égale à 4

F
AE, la ligne FB, fera le
côté du Pentagone.

Il faut laisser à ceux qui
commencent le plaisir
d'en trouver la démonstration; c'est une suite de la
Proposition précedente.

DIX-SEPTIEME PROPOSITION: Le quarré de la base d'un Angle obtus, eft égal aux quarrés des deux côtés; plus deux fois le Rectangle du côté sur lequel on a mené une perpendiculaire, & de la partie de ce côté prolongé comprise entre la perpendiculaire & le Sommet de l'Angle obtus.

Soit l'Angle obtus ABC, soit mené du point A, la perpendi

A
culaire AD,
sur le côté CB, prolongé en D; je dis que le quarré
de la basc ac, est égal au quarré du côté AB, &
au quarré du côté BC; plus deux fois le Rectangle
du côté BC, par la ligne B D.
Je nomme la base,

AC..i.*
Le côté,

AB....)
Le côté ;

CB....2.
La ligne,

BD.....
La ligne CD, fera

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D

B

A caufe du riangle re&tangle VADB, lc quarré de la ligne AB,

est égal au quarre de la ligne AD, plus le quarré de la ligne DB donc le quarré de la ligne AD, est égal au quarré de la ligne AB, moins le quarré de la ligne D B.

C'est-à-dire, que le quarré de la ligne AD, est égal à yy-uu.

Or à cause du triangle Rectangle ADC, fi au quarré de la ligne AD, qui est yếuu, j'ajoûte le quarré de la ligne D C; c'est-à-dire, le quarré de 2-4, qui est zx + 224-4 14, comme on verra tout-à-l'heure.

J'aurai 22 +224+*-+yy-u, c'est-à-dire, que j'aurai 22 +224 + y)=xx.

C'est-à-dire , le quarré de la ligne AC, égal au quarré de la ligne AB, & au quarré de la ligne CB: plus deux Rectangles de z par H, c'est-à-dire, de la ligne B C, par la ligne ß D.

Que le quarré de 2-4%, soit 22 + 2 Zu+u4 cela est évident. Il n'y a qu'à multiplier 2 -4 u par 2 + +, suivant qu'il a été enseigné dans le Traité de l'Arithmetique par Lettres,

DIX-HUITIEME PROPOSITION. Le quarré de la base d'un Angle aigu , est égal aux quarrés de fes côtés, moins deux fois le Rectangle du côté sur lequel on a mené une perpendiculaire , & de la partie de ce côté comprise entre la perpendiculaire & le Sommet de l’Angle donné.

Soit le triangle BAC. Que l’Angle donné soit en A, & que la base soit la ligne BC, du point B, extremité de la base, soit menée la perpendiculaire D B; je dis que le quarré de la base BC, est égal aux deux quarrés des côtés B A, AC, moins deux fois le Re&tangle du côté AC, par sa portion AD.

Que le côté AB, soit nommé z.
Le côté AC,

soit nommé

7.
La base BC, soit nommée x.
La portion AD, soit nommée u.

La ligne ou portion DC , sera y - 1
A cause du triangle
Rectangle BDA, le quar-

А
ré de BD, est égal au
quarré de AB, moins
le quarré de AD; c'est-
à-dire, que le quarré de
la ligne BD, estz zu u.

De même, à cause du triangle Rectangle BDC, si je joins au quarré de B D, le quarré de . DC, j'aurai le quarré de BC.

On vient de voir que le quarré de B D, est,

J'y joins le quarré de DC, lequel quarré est y = 2yu+ uu; puisque DC, est yếu, & que -u, multiplié par y---, donne yy - 2yu + uu.

Joignant donc le quarré de BD, au quarré de DC, il me vient pour le quarré de BC, 22-uu +9y-2 yu+ uu.

Or-+uu, c'est-à-dire zero; donc reste pour le quarré de la base B C,22 + 3y - 2 yu; c'est-àdire, le quarré du côté AB; plus le quarré du côté Ac, moins deux fois y multiplié par Hy c’est

В.

22

- UU.

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