II. COROLLAIRE.

Les côtés du Decagone, du Pentagone, & de l'Hexagone infcrits dans le même cercle, peuvent toûjours être difpofés en triangle Rectangle: il n'y a qu'à faire voir que le quarre du côté du Pentagone, eft égal au quarré du côté de l'Hexagone, & au quarré du côté du Decagone.

Soit dans le cercle, le côté du Pentagone AB, du centre C, foient menés les Raïons AC, CB, qui par la feptiéme Propofition de ce Livre, feront côtés de l'Hexagone, que l'arc qu'ils comprennent foit divifé en deux parties égales au point D, les lignes ou

DEB

cordes AD, DB, feront côté du Decagone. Que Parc AED, foûtenu par un côté du Decagone, foit divifé en deux parties égales au point E, par le Raion CE, ce Raïon coupera le côté du Pentagone au point I, & fera un Angle droit avec le côté du Decagone. Soit tirée la ligne ID.

Si je puis démontrer que CB, côté de l'Hexagone, eft Moïenne Proportionelle entre A B côté du Pentagone, & fa portion BI, & que AD, côté du Decagone, eft Moienne Proportionelle entre AB, & fa portion AI. Il s'enfuivra par notre quinziéme Propofition, que le quarré de la ligne AB, fera égal au quarré de la ligne BC, & au quarré de la ligne 4D; or cela n'eft pas difficile.

Je confidere le triangle Ifofcele AC B, & le triangle Ifofcele CIB; je trouve qu'ils font femblables: car dans le grand triangle, l'Angle ACB, eft de foixante & douze degrés par conftruction, puifque c'eft la cinquième partie du cercle; les deux Angles fur la bafe AB, font chacun de cinquantequatre degrés, puifqu'ils doivent faire enfemble cent huit degrés, & qu'ils doivent être égaux l'un à l'autre, à caufe de l'égalité des côtés CA, CB; de même dans le triangle Ifofcele C1 B, l'Angle CBI, eft de cinquante-quatre degrés, puifqu'il ne differe pas de l'Angle C B A; d'ailleurs l'Angle BCI, eft auffi de cinquante-quatte degrés, puifqu'il eft mefuré par l'arc EDFB, qui eft compofé de l'arc DFB, de 36 degrés, à cause qu'il eft fou tenu par le côté du Decagone, & de l'arc D E, qui eft par conftruction la moitié de 36 degrés, c'està-dire 18; ainfi dans le triangle Ifofcele CIB, les deux Angles fur fa bafe CB, valent chacun 54 degrés, & il en refte foixante & douze pour l'Angle de fon Sommet CIB; donc les deux triangles Ifofceles ACB, CBI, font femblables; donc les deux côtés homologues font proportionels; donc AB, base du premier, eft à CB, base du fecond, comme CB, côté du premier, eft à BI, côté du fecond; donc CB eft Moïenne Proportionelle entre AB, & BI.

Je dis en fecond lieu, que A D, est Moïenne Proportionelle entre AB, & AI.

Je confidere pour cela le triangle Ifofcele ADB, & le triangle AID; je dis que ce dernier eft Ifofcele & femblable au triangle AD B.

Dans le triangle ADB., chacun des Angles fur la bafe AB, eft de 18 degrés, puifqu'il a pour mefure la moitié de l'arc DFB, de 36 degrés;

refte donc pour l'Angle du Sommet ADB, 144 degrés,

Dans le triangle AID, AK c'eft la même chose. 1o. Il eft Ifofcele, c'eftà-dire, que fon côté AI, eft égal à fon côté ID, puifque la perpendiculaire partage manifeftement le triangle AID,

DFB

E

en deux triangles Rectangles tout égaux.

29. L'Angle fur la base IAD, qui n'eft pas different de l'Angle BAD, a pour mefure la moitié de l'arc DFB, & par confequent eft de 18 degrés ; donc l'autre Angle IDA, eft auffi de 18 degrés, & l'Angle du Sommet AID, de 144; donc les deux triangles AD B, AID, font femblables; donc B bafe du premier, eft à AD, base du fecond, comme AD, côté du premier, eft à A 1, côté du second; donc AD, eft Moïenne Proportionelle entre AB, & AI.

Donc le quarré de la ligne AB, eft égal au quar ré de la ligne BC, plus le quarré de la ligne AD. Donc fi l'on difpofe la ligne AD, & la ligne BC; en forte qu'elles forment un Angle droit, la ligne AB, en fera la bafe. Ce qu'il falloit démontrer.

Cela fournit une conftruction pour inscrire le côté du Pentagone. La voici.

PROBLEM E.

SEIZIE ME PROPOSITION.

Infcrire dans un cercle donné le côté du Pentagone. Soient deux diametres se coupant à Angles droits

au centre C; divifés le

B

Raïon BC, en deux par

ties égales au point D; tirés la ligne AD; prenés fur elle DE, égale à DC, puis prenés FC, égale à A AE, la ligne FB, fera le côté du Pentagone.

E

C

F

Il faut laiffer à ceux qui

commencent le plaifir

d'en trouver la démonftration; c'eft une fuite de la Propofition précedente.

DIX-SEPTIEME PROPOSITION.

Le quarré de la bafe d'un Angle obtus, eft égal aux quarrés des deux côtés; plus deux fois le Rectangle du côté fur lequel on a mené une perpendiculaire, & de la partie de ce côté prolongé comprise entre la perpendiculaire & le Sommet de l'Angle obtus.

Soit l'An

gle obtus ABC, foit mené du point A, la perpendi

culaire AD,

fur le côté CB, prolongé en D; je dis que le quarré de la bafe AC, eft égal au quarré du côté AB, & au quarré du côté BC; plus deux fois le Rectangle du côté BC, par la ligne B D.

Je nomme la bafe,

Le côté,

Le côté,

La ligne,

La ligne CD, fera ......

A caufe du ".. D riangle re

B

tangle

A DB, le

quarré de la

ligne AB, eft égal au

A

quarré de la ligne AD, plus le quarré de la ligne DE donc le quarré de la ligne AD, eft égal au quarré de la ligne AB, moins le quarré de la ligne D B. C'est-à-dire, que le quarré de la ligne AD, est égal à yy-uu.

Or a caufe du triangle Rectangle ADC, fi au quarré de la ligne AD, qui eft yy-uu, j'ajoûte le quarré de la ligne D C; c'eft-à-dire, le quarré de zu, qui est zz + 2zu+u, comme on verra tout-à-l'heure.

J'aurai zzzzu u u→→ y y — uu, c'est-à-dire, que j'aurai zz 2 zu →yy=xx.

C'eft-à-dire, le quarré de la ligne AC, égal au quarré de la ligne AB, & au quarré de la ligne CB: plus deux Rectangles de z par u, c'est-à-dire, de la ligne BC, par la ligne B D.

Que le quarré de zu, foit zz + 2 zu + uu, cela eft évident. Il n'y a qu'à multiplier zu par z+, fuivant qu'il a été enfeigné dans le Traité de l'Arithmetique par Lettres,

DIX-HUITIEME PROPOSITION.

Le quarré de la bafe d'un Angle aigu, eft égal aux quarrés de fes côtés, moins deux fois le Rectangle du côté fur lequel on a mené une perpendiculaire, & de la partie de ce côté comprise entre la perpendiculaire & le Sommet de l'Angle donné.