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Soit le triangle BAC. Que l'Angle donné foit en A, & que fa bafe foit la ligne BC, du point B, extremité de la base, foit menée la perpendiculaire D B; je dis que le quarré de la base BC, eft égal aux deux quarrés des côtés B A, A C, moins deux fois le Rectangle du côté AC, par portion A D.

Que le côté AB, foit nommé z.

Le côté AC, foit nommé

y.

La base BC, foit nommée x.
La portion AD, foit nommée u.
La ligne ou portion DC, fera y

A caufe du triangle
Rectangle BDA, le quar-
ré de BD, eft égal au
quarré de AB, moins
le quarré de AD; c'est-
à-dire, que le quarré de
la ligne BD, eft z z—u u.
De même, à cause du
triangle Rectangle BDC, B

A

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fa

fi je joins au quarré de BD, le quarré de D C j'aurai le quarré de BC.

On vient de voir que le quarré de B D, eft

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J'y joins le quarré de DC, lequel quarré eft yy2yuuu; puifque DC, eft y-u, & que yu, multiplié par y-u, donne yy2yuuu.

Joignant donc le quarré de B D, au quarré de DC, il me vient pour le quarré de BC, Zz — uu →yy―2 yu→ u u.

Őr—uuuu, c'est-à-dire zero; donc refte pour le quarré de la base BC, zzyy — 2 yu ; c'est-àdire, le quarré du côté AB; plus le quarré du côté AC, moins deux fois y multiplié par u, c'est

à-dire, moins deux fois le Rectangle du côté A¤ ̧ par la portion AD.

DIX-NEUVIE'ME PROPOSITION.

Trouver l'Aire d'un Triangle donné dont on connoît fimplement les trois côtés.

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Le Problême fe réduit à trouver la valeur de la perpendiculaire du triangle donné : car multipliant la base par la perpendiculaire, on a le double de l'Aire du triangle, par le Corollaire de la treiziéme Propofition.

Or voici comme l'on trouve la valeur de la pera pendiculaire: Soit le triagle donné CBD; je

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16 toifes; il faut trouver la valeur de la perpendiculai re BE, c'est-à-dire, combien elle contient de toifes.

Du point B, pris pour centre, & de l'intervalle CB, le plus petit des côtés, je décris un cercle qui rencontre la bafe aux points C, F; il eft démontré que la perpendiculaire BE, paffant par le centre, doit tomber fur le milieu de la ligne CF, qui eft ici une corde; ainfi je commence par chercher combien la ligne CF, vaut de toifes; & je le fçaurai quand je connoîtrai combien la ligne FD, en contient. Or cela eft aifé par la troifiéme Propo

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fition du feptiéme Livre; car comme la ligne CD, eft à la ligne AD, ainfi DG, eft à DF. Les trois premieres de ces lignes font connuës; CD, eft la bafe de 23 toifes, AD, eft la fomme des côtés, c'est-à-dire 24 toifes: car CB, eft égale à BA; GD, eft la difference des côtés, c'eft-à-dire 8 toifes: car BG Raïon, eft égal à CB, petit côté; il n'y a donc qu'à faire la Regle de Trois ainfi. Comme 23 eft a 24, ainfi 8 a un quatriéme terme, qui fera la ligne DF; multipliant donc 24 par 8, & divifant par 23, viendra 8 toifes & environ de toife pour la ligne DF, cela étant la ligne CF, vaudra 14 toifes, puifque la ligne CD, en vaut 23, par confequent la ligne CE, moitié de CF, vau dra toifes.

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A prefent, connoiffant la valeur de CE, il eft aifé d'avoir la valeur de BE; car à cause du triangle Rectangle CE B, il n'y qu'à ôter du quarré de CB, qui eft 64, le quarré de CE, qui eft un peu moins de 54 toifes, reftera environ 10 toifes pour le quarré de la perpendiculaire B E, dont la racine, eft trois toifes & quelque chofe de plus.

Voila donc enfin la perpendiculaire trouvée en toifes; donc multipliant la bafe CD, qui contient 23 toifes par 3 toifes, viendra au produit environ 77 toifes, double de l'Aire du triangle donné, la quelle contiendra par confequent 38 toifes.

Cette Propofition eft de grand ufage, & il faut fe bien fouvenir, que pour avoir la perpendiculaire d'un triangle, il faut faire comme la bafe eft à la fomme des côtés; ainfi la difference des côtés, eft à une quatriéme ligne, qui étant ôtée de la bafe, laiffe une autre ligne fur la moitié de laquelle tombe la perpendiculaire cherchée.

VINGTIEME PROPOSITION.

Si l'on divife en deux parties égales, chaque Angle d'un triangle par des lignes tombantes fur les côtés oppofés, les trois lignes qui les divifent, fe rencontreront en un même point dans le triangle.

Soit le triangle ABC Soit l'Angle en A, divife en deux parties égales par la ligne AD, & l'Angle en C, divifé en deux parties égales par la ligne CE, qui coupe en F la ligne AD, il n'y a qu'à démon trer que fi l'on tire de l'Angle en B, par le point F, la ligne BFG, cette ligne BFG, divifera en deux parties égales l'Angle en B.

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Puifque l'Angle en C, & l'Angle en A, font di vifés en deux parties égales; il s'enfuit par la hui tiéme Propofition du fixiéme Livre, que AB, eft à BD, comme AC, eft à CD; puis confiderant le triangle ACD, il s'enfuit par la même raison que AC, eft à CD, comme AF, eft à FD; donc AB, eft à BD, comme A F, eft à FD; donc par la même Propofition, en confiderant le triangle ABD, l'Angle en B, eft divifé en deux parties égales par ligne BF, puifque la bafe AD, eft coupée proportionellement aux côtés AB,

B D.

VINGT

VINGT-UNIEME PROPOSITION.

Si des trois Angles d'un triangle Oxigone, on mene des perpendiculaires fur des côtés oppofés, elles fe rencontreront toutes trois au même point dans l'Aire.

Soit le triangle Oxigone BAC; foient menées les perpendiculaires BE,CD qui fe rencontrent au point G; je dis que la ligne tirée du fommet A, par le point G, & tom- B bant en F, fur le

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côté BC, lui eft perpendiculaire.

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Les deux triangles B E A, CD A, font femblables, aïant l'un & l'autre un Angle droit; & l'Angle en A, commun. D'où s'enfuit que les Angles EBA, D CA, font égaux, & que le petit triangle GDB, eft femblable aux deux triangles CDA, ВE A, à caufe de fon Angle droit en D; & de l'Angle commun G BD; donc CD, DB::

AD, DG.

Confiderant maintenant les lignes CD, BD; comme côtés qui comprennent l'Angle droit du triangle CDB, & confiderant les lignes AD, DG, comme côtés qui comprennent l'Angle droit du triangle G DA, puifque les deux premiers comprenant l'Angle droit, font proportionels aux deux autres, comprenant l'Angle droit; il s'enfuit que les deux triangles CDB, GDA, font femblables, par confequent l'Angle D CB, égal à l'Angle GAD. Or fi l'on continue AG, jufqu'en F, pour for

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