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à-dire, moins deux fois le Rectangle du côté ic; par la portion AD.

Dix-NEUVIE'ME PROPOSITION.

côté CB,

Trouver l'Aire d'un Triangle donné dont on connoît fima

plement les trois côtés. Le Probleme fe réduit à trouver la valeur de là perpendiculaire du triangle donné : car multipliant la base par la perpendiculaire, on a le double de l'Aire du triangle, par le Corollaire de la treiziéme Propofition

Or voici comme l'on trouve la valeur de la pera pendiculaire Soit le triagle donné CBD; je fuppose le AA

B de 8 toises, la base CD, de 23 toi

D ses ; & le

I 23 F côté BD, de 16 toises; il faut trouver la valeur de la perpendiculais re BE, c'est-à-dire, combien elle contient de toisesa

Da point B, pris pour centre, & de l'intervalle CB, le plus petit des côtés, je décris un cercle qui rencontre la base aux points C, F; il est démontré que la perpendiculaire BE, passant par le centre, doit tomber sur le milieu de la ligne CF, qui eft ici une corde; ainsi je commence par chercher combien la ligne CF, vaut de toises; & je le sçaurai quand je connoîtrai combien la ligne FD, en contient. Or cela est aisé par la troisième Propov

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sition du septiéme Livre; car comme la ligne CD. est à la ligne AD, ainsi DG, est à DF. Les trois premieres de ces lignes sont connuës; CD, est la base de 23 toises, AD, est la fomme des côtés,

c'est-à-dire 24 toises : car CB, est égale à BA; i GD, est la difference des côtés, c'est-à-dire 8 toi

ses : car BG Raion, est égal à CB, petit côté; il n'y a donc qu'à faire la Regle de Trois ainsi. Comme 23 eft à 24, aing 8 a un quatriéme terme, qui sera la ligne DF; multipliant donc 24 par 8, & & divisant par 23, viendra 8 toises & environde toise pour la ligne DF, cela étant la ligne CF, vaudra 14 toises, puisque la ligne CD, en vaut 23 , par consequent la ligne CE, moitié de CF, vaus dra 7 toises

A present, connoissant la valeur de CE, il est aisé d'avoir la valeur de BE; car à cause du triangle Rectangle CEB, il n'y qu'à ôter du quarré de ČB, qui est 64, le quarré de CE, qui est un peu moins de 54 toises, restera environ 10 toises pour le

quarré de la perpendiculaire BE, dont la racine est trois toises & quelque chose de plus.

Voila donc enfin la perpendiculaire trouvée en toises; donc multipliant la bafe CD, qui contient

par 3 toises , viendra au produit environ 77 toises, double de l'Aire da triangle donné, laquelle contiendra par consequent 38 toises :

Cette Proposition est de grand usage, & il faut fe bien souvenir, que pour avoir la perpendiculaire d'un triangle, il faut faire comme la bafe eft à la somme des côtés ; ainfi la difference des côtés, est à une quatriéme ligne , qui étant ôtée de la base, faisse une autre ligne sur la moitié de laquelle tombe la perpendiculaire cherchée.

23 toises

VINGTIEME PROPOSITION. Si l'on divise en deux parties égales , chaque Angle d'un triangle par des lignes tombantes sur les côtés opposés, les trois lignes qui les divisent, se rencontreront en un même point dans le triangle.

Soit le triangle A B C. Soit l'Angle en u, divisé en deux parties égales par la ligne AD, & l’Angle en C, divisé en deux parties égales par la ligne CE, qui coupe en F la ligne AD, il n'y a qu'à démontrer que si l'on tire de l'Angle en B, par le point F, la ligne BFG, cette ligne BFG, divisera en deux partics égales l'Angle en B.

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À Puifque l'Angle en C, & l'Angle en A, sont divisés en deux parties égales; il s'ensuit par la hui țiéme Proposition du fixiéme Livre, que AB, eft à BD, comme Ac, eft à CD; puis considerant le triangle ACD, il s'ensuit par la même raison que AC, est à CD, comme AF, est à FD; donc AB, est à BD, comme AF, est à FD; donc par la même Proposition, en confiderant le triangle ABD, l'Angle en B, est divisé en deux

parties égales par ligne BF, puisque la base À D, est coupée proportionellement aux côtés AB, BD.

VINGT

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VINGT-UNI E'ME PROPOSITION. Si des trois Angles d'un triangle Oxigone, on mene des perpendiculaires sur des côtés opposés, elles se rencontreront toutes trois au même point dans l'Aire.

Soit le triangle O-
xigone BAC; Toient

А
menées les perpen-
diculaires BE, CD,
qui se rencontrent

D
au point C; je dis
que la ligne tirée du
sommet A, par le
point G, & tom- B
bant en F, sur le
côté BC, lui est perpendiculaire.

Les deux triangles B E A, CDA, font femblables, aiant l'un & l'autre un Angle droit; & l'Angle en A, commun. D'où s'ensuit

que

les Angles E BA, DC-A, sont égaux, & que le petit triangle G DB, est semblable aux deux triangles ADA, BEA, à cause de fon Angle droit en D, & de l'Angle cominun GBD; donc CD, DB:: AD, DG.

Considerant maintenant les lignes CD, BD; comme côtés qui comprennent l’Angle droit du triangle CDB, & considerant les lignes AD, DG; comme côtés qui comprennent l’Angle droit du triangle G DA, puisque les deux premiers comprenant l'Angle droit , sont proportionels aux deux autres, comprenant l'Angle droit; il s'ensuit que les deux triangles CDB, GDA, sont semblables, par consequent l’Angle DCB, égal à l’Angle GAD. Or si l'on continuë AG, jusqu'en F, pour for

I

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mer le triangle AFB, il faudra necessairement
qu'il soit semblable au triangle C D B, puisqu'ils
auront un Angle commun, qui est CBD; & lan-
gle G AD, égal à l'Angle DC B; donc comme
PAngle CDB, est droit, l'Angle AFB, sera droit
pareillement , & par consequent la ligne AF,
perpendiculaire.

VINGT-DEUXIEMS PROPOSITION.
Si une ligne comme AB, est divisée en deux
parties au point
C, le quarré de

Ar
©

B
la toute AB, eft
égal aux deux
quarrés des deux parties AC, CB; plus deux fois
le Rectangle d'une partie par l'autre.

Soit la ligne AB, appellée ....*.
La portion AC,

.....
La portion CB,

sera égal à y + zi Multipliant y + z par , +%, viendra yy + 2yZ +22=*xx. C'est-à-diré le quarré de Áć, plus le quarré de CB; plus deux fois le Rectangle de Ac, par CB, égal au quarré de la toute AB,

Que si la
ligne AB,

D
elt divisée
AH

B
en trois par-
ties aux points C, D; le quarré de la toute AB,
est égal aux trois aux quarrés des parties; plus deux
fois le Rectangle de Ac, par CD; plus deux fois
le Rectangle de CD, par DB, il n'y a qu'à donner
des noms aux parties de la toute.

Je nomme AC.... x.

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CD....y

BD...

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