conference correfpondante KLF; & voici comment. La circonference HIB, eft à la circonference KLF, comme le Raïon AB, eft au Raion AF, par le Corollaire de la cinquiéme Propofition de ce Livre.

Le Raion AB, eft au Raïon AF, comme la ligne BC, eft à la ligne FG, à caufe que les triangles CBA, GFA, font femblables.

Donc la circonference HIB, eft à la circonference KL F, comme la ligne B C, eft à la ligne FG, parce que deux Raifons égales à une même Raifon, font égales entr'elles.

Alternando. La circonference HIB, eft à la ligne B C, comme la circonference KLF, eft à la ligne FG.

Or la circonference HIB, eft fuppofée égale à la ligne BC; donc la circonference KLF, fera égale à la ligne FG. Ce qu'il falloit démontrer.

PROBLEME.

VINGT-QUATRIEME

PROPOSITION.

Transformer une Figure d'un certain nombre de côtés. en un autre de même Aire, & la réduire, fi l'on veut, au Triangle.

G

E

prolongé au point F, duquel point je tire la ligne FC, & je dis que le quadrilatere ABCF, eft égal au Pentagone car le triangle CFE, eft égal au triangle EDC, puifqu'ils ont la même bafe CE, & qu'étant entre mêmes paralleles, ils ont même hauteur. Retranchant donc le triangle EDC, du Pentagone, & remettant en fa place le triangle C FE fon égal, on a le quadrilatere ABCF, égal au Pentagone donné

Il n'eft pas plus difficile de réduire ce quadrilatere ABCF, en triangle.

Il n'y a qu'à joindre les points CA, fi vous voulés, par la ligne CA; lui mener une parallele par le point 8; prolonger FA, jusques en G, puis joindre les points CG, le triangle FCG, fera par la même raifon égal au quadrilatere ABC F, & par confequent au Pentagone AB CD E.

Que fi l'on vouloit à prefent réduire le triangle ECG, en un triangle Rectangle Ifofcele de même Aire, il faudroit d'abord faire paffer par l'un des points E, C, G, une parallele au côté oppofé; par exemple, par le point C, puis aïant mené les perpendiculaires GI, EH, on aura le Rectangle EHGI, dont l'Aire eft double de l'Aire du trian

NEUVIE'M E LIVRE.

De la comparaison de l'Aire des Figures.

PREMIERE PROPOSITION.

Es Rectangles qui ont même base, font entre Leux comme eux comme leurs hauteurs; & ceux qui ont même hauteur, font entre eux comme leurs bafes.

Il faut fe fouvenir que la Raifon de deux gran'deurs, demeure la même, fi on les multiplie par une même grandeur; ainfi A, B:: AC, BC.

Un Rectangle eft une bafe multipliée par une hauteur, ou une hauteur multipliée par une bafe.

Ainfi deux bafes égales étant deux grandeurs égales, peuvent être confiderées comme une même grandeur. Si donc cette grandeur égale à elle-même, multiplie deux hauteurs inégales, les deux produits font les deux Rectangles, qui confervent neceffairement entre eux la Raifon que les hauteurs inégales avoient avant la multiplication.

Par exemple, une hauteur eft A, l'autre eft B; je multiplie la hauteur A, par la base C, vient AC; je multiplie la hauteur B par la base C, vient BC, & il eft évident que A, B:: AC,

B C.

,

C'eft la même chofe des bafes inégales multipliées par une même hauteur.

SECONDE PROPOSITION.

Les Rectangles font entre eux en Raison compo

fée de la bafe à la base, & de la hauteur à la hau

de AB à

la

EF, qui eft celle des hauteurs ; & la Raifon de BD à FH, qui eft celle des bases.

Pour compofer une Raifon de ces deux Raifons données; on fçait qu'il faut multiplier les deux Antecedens l'un par l'autre, & les deux Confequents pareillement. Or de la multiplication de l'Antecedent A B, par l'Antecedent B D, vient le premier Rectangle ; & de la multiplication du Confequent EF, par le Confequent FH, vient le fecond Rectangle; donc ces deux Rectangles font une Raifon compofée des deux Raifons de base à base, & de hauteur à hauteur.

TROISIEME

PROPOSITION. Les Rectangles femblables, c'est-à-dire, qui ont les côtés proportionels, font en Raifon doublée de leurs bafes ou de leurs hauteurs.