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III. COROLL AIRE. Les Figures régulieres inscrites ou circonscrites au cercle, font entre elles en Raison doublée ou de leurs côtés ou de leurs Raions, ou de leurs Ražons droits. Ces trois Raisons étant égales en toutes Figures régulieres, si elles sont en Raison doublée de Pune, elles seront en Raison doublée de l'autre. Or 'il est visible, par exemple, que deux Hexagones, sont en Raison doublée de leurs côtés : car chaque Hexagone se divise en fix triangles parfaitement égaux, & chaque triangle d'un Hexagone eft à chaque triangle de l'autre en Raison doublée de la base à la base, parce qu'ils sont semblables ; donc les six triangles d'un côté, sont à l'égard des fix triangles de l'autre paretllement en Raison doubléc de leurs côtés.

I V. COROLLAIRE. Les cercles sont entre eux en Raison doublée de leurs Rajons: car les cercles sont des Polygones réguliers d'une infinité de côtés;

ainsi si l'on propose deux cercles dont l'un ait le Raion triple de l'autre, l'Aire du grand cercle sera nonculpe de celle

du petit.

V. COROLL AIRE.

Les quarrés sont en Raison doublée de leurs cô. tés, puisque ce sont des Rectangles.

VI. COROLLAIRE.

Les cercles sont entr'eux comme les quarrés de leurs Raions : car les quarrés des Raions sont en Raison doublée des Raïons, auffi-bien que les cercles.

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tres.

Si l'on construir sur les trois côtés d'un triangle Rectangle, trois Figures semblables quelconques, celle qui sera construite sur l'Hypotenuse, sera égale aux deux autres prises ensemble. 1o. Les Figures semblables sont en Raison doublée de leurs côtés homologues; c'est-à-dire , comme les quarrés de leurs côtés. Or nous avons vû

que le quarré de l'Hypotenuse est égal au quarré des deux côtés; donc la Figure construite sur l'Hypotenuse, est égale aux deux autres, puisqu'elle est à ces deux autres, comme fon quarré est aux quarrés des deux au

C'est par ce dernier Corollaire qu'on eft venu à bout de trouver l'Aire de certains espaces renfermés par des portions de circonference , quoique jusqu'à present il ait été impossible de trouver geometriquement l’Aire du cercle, parce qu'on ne Içait pas la longueur de la circorference. Ainsi quoiqu'on fçache que l'Aire du cercle est égale au Řectangle de la demi-circonference par le Raïon; .comme cette demi-circonference ne peut être mesurée geometriquement, & qu'on n'en connoît point le rapport avec une ligne droite, on n'a pas non plus exactemept ce Rectangle; cependant voici comment l'on trouve geometriquement l'Aire de ces espaces , qu'on appelle ordinairement des Lunulles , & dont l'invention est attribuée à un ancien Geometre nommé Hippocrate.

Soit décrit le triangle rectangle Isofcele AB.C Sur chacun de ces côtés pris pour diametres,

metres, soient décrites les demi-circonferences AGBDC, AFB, CEB.

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L'espace renfermé entre le quart de cercle AGB, & la demi-circonference AFB, se nomme une Lunulle, comme celle de l'autre côté.

Je dis que les deux Lunulles prises ensemble, font égales au triangle A B C, car par ce dernier Corollaire , l'Aire du demi-cercle AGBDC, eft égale aux deux Aires des demi-cercles A FB, BEC. Or retranchant de l'Aire du grand demi-cercle, la portion AGBH, & la portion BDCI, restera le triangle ABC; ces deux mêmes portions AGBH, BDČI, retranchées des deux demi-cercles A FB BEC, laisseront les deux Lunulles A FBG BE CD; donc les restes seront égaux de d'autre; donc les Lunulles sont égales à l'Aire du triangle A B C, dont la moitié À BK, est égale à l'une des Lunulles.

Il est assés surprenant que l'on mesure fi aisément une surface bornée par deux portions de circonferences , & que jusqu'à present l'esprit humain n'ait pû trouver aucun chemin pour aller à la quadrature du cercle ; mais nous allons voir tout-à-l'heure quelque chose de bien plus humi: liant pour lui. .

part &

quarré A

QUATRIE'Me PROPOSITION:

Des Incommenfurables.
La Diagonale du quarré est Incommensurable à
son côté.
Soit un

B
ABCD. La Diagona-
le AD.

Il n'y a qu'à démontrer que la ligne AD, n'est

pas comme nombre à nombre à l'égard de la ligne Ac.

Souvenons-nous d'abord que la Raison doublée de toute Rai-. fon de nombre à nombre, a necessairement pour Exposans des nombres quarrés.

2°. Qu'une Raison doublée ; qui n'a pas pour Expofans des nombres quarrés, n'est pas doublée d'une Raison de nombre à nombre, ou pour s'exprimer autrement, que la Raison dont elle est la doublée, n'est pas Raison de nombre à nombre. Cela a été démontré.

Or par le cinquiéme Corollaire de la troisiéme Proposition de ce Livre, le quarré de la ligne AD, est au quarré de la ligne Äc, en Raison doublée de la Raison de la ligne AD, à la ligne Ac.

Donc si le quarré de la ligne À D, & le quarré de la ligne Ac, n'ont pas pour Exposåns des nombres quarrés, la Raison de la ligne AD, à la ligne AC, sera fourde. Or les Exposans de la Railon de ces deux quarrés , sont 2, 1, par la quatorziéme Proposition du Livre précedent, puisque le

triangle

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triangle ACD, est Rectangle, & que le côté AC étant égal au côté CD, le quarré de l'Hypotenuses MD, est double du quarré du côté Ac; donc la Raison dont cette Raison 2, 1, est la doublée , n'est pas une Raison de nombre à nombre ; c'est-àdire , que la Raison de la Diagonale AD, au côté Ac, est sourde ou n'est pas de nombre. Voila donc deux lignes AD, AC; qui n'ont aucune commune mesure. Il n'en est

pas

de même de leurs quarrés, car leurs quarrés sont commensurables, ou sont comme nombre à nombre, puisque l'un est à l'égard de l'autre, comme 2 à i.

Les Geometres pour exprimer cela , disent que la Diagonale & le côté font incommensurables en longueur, mais commenfurables en puissance, c'està-dire, que leurs quarrés ne font pas incommensurables.

Mais il est facile de trouver des lignes qui seront incommensurables en longueur & même en puissance, c'est-à-dire , dont les quarrés n'auront aucun rapport qu'on puisse exprimer par des nombres.

Par exemple , il n'y a qu'à trouver une ligne moïenne Proportionelle entre la Diagonale & le côté. Par la dixiéme Proposition du sixiéme Livre :

Je dis que cette moïenne Proportionelle est incommensurable en longueur & en puissance à l'égard du côté & de la Diagonale.

Soit la ligne EF, fupposée moienne E Proportionelle en Å. tre le côté AC & la Diagonale AD. fiIl est premierement certain que la Raison de la ligne ic, à la ligne AD; 'est doubļée de la

K

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C.

F:

D

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