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Raison de la ligne. A

C. AC, à la ligne E

F. EF. A

D Car appellant AC.... . EF

) AD Par la supposition, x,y::y, Z.

Si l'on multiplie les deux Antecedens l'un par l'autre, & pareillement les deux Consequens, on aura pour Raison composée xy,zy. Or cette Raifon n'est pas differente de la Raison de x à 2.

*, 1:4), Ç3: Puisque c’est ane Raison multipliée par la même grandeur y; donc la Raison de xà z, est composée de la Raison de xà y, & de la Raison de y à 2, qui sont deux Raisons égales; donc la Raison de * à z, eft doublée de la Raison de x à y; c'est à-dire, comme on l'a avancé, que la Raison de la ligne Ac, à la ligne AD, est doublée de la Raison de la ligne Ac, à la ligne E F.

Cela étant, la ligne AC, est incommensurable à la ligne EF, puisque leur Raison doublée qui est celle de la ligne AC, à ligne AD, bien loin d'avoir pour Expofans des nombres quarrés, n'a pas même aucun nombre pour Exposans.

Je dis de plus que le quarré de la ligne Ac, eft incommensurable au quarré de la ligne E F.

Car le quarré de la ligne Ac, est au quarré de la ligne EF, en Raison doublée de la ligne AC, à la ligne E F; c'est-à-dire, comme la ligne Al, est à la ligne AD. Or. la ligne Ac, est supposée incommensurable à la ligne AD; donc le quarré de la ligne Ac, est incommensurable au quarré de la ligne E F.

On voit par là qu'on peut avoir des lignes in

commensurables à l'infini, en cherchant toûjours des moïennes proportionelles ; par exemple, ens tre la ligne AC, & la ligne EF, & ainsi à l'infini.

Réflexions sur les incommensurables. Rien n'est plus étonnant que ces vérités démon trées touchant les Incommensurables. La ligne Ac; & la ligne AD, ont chacune une infinité d'Aliquoties pareilles, & dans ce nombre infini, je ne puis jamais en trouver une seule qui puisse être l'A. liquotte des deux lignes.

Je puis prendre , par exemple, la centmilliéme partie de la ligne C; la deux centmilliéme , la quatre centmilliéme partie , & ainti doublant tolljours à l'infini, fans que jamais aucune de ces pea tites parties puisse être côntenuë précisément un certain nombre de fois dans la ligne AD.

Je puis même choisir une infinité d'Aliquottes de la ligne uc, d'un ordre tout different. Je puiš prendre la trois centmilliéme partie, la neuf cent> milliéme; & ainsi triplant toûjours à l'infini , fans que jamais dans cette infinité d'Infinis, je puisse trouver une partie qui mesure exactement la ligne AD Cette vérité démontrée, démontre invinciblement la divisibilité de la matiere à l'infini, ou pour s'exprimer autrement, que l'étenduë ne peut être composée d'indivisibles ; car si le côté du quarré, par exemple, 'étoit composé d'indivisibles, il en contiendroit necessairement un certain nombre, ainsi l'un de ces indivisibles seroit Aliquotte de ce côté. Prenant maintenant l'un de ces indivisibles ou Aliquotte , pour mesurer la Diagonale, il y fera contenu précisément un certain nombre de fois, ou avec un reste. Si vous dites qu'il y est contenu

que c'est

précisément un certain nombre de fois, voila la Diagonale commensurable au côté, ce qui a été démontré impoffible. Si vous dites que cet indivisible est contenu dans la Diagonale un certain nombre de fois avec un reste ; je vous demande ce

que le reste d'un indivisible, ce reste sera necessairement plus petit que l'Aliquotte dont il est reste, & par consequent cette Aliquotte n'étoit pas indivisible, contre la supposition ; donc l'étendue n'est pas composée d'indivisibles. Il n'y a rien de démontré, si cela ne l'est

pas : car de dire comme ceraines gens, qu'il n'y a point de quarrés parfaits , par consequent point de côtés ni de Diagonales, c'est raisonner pitoïablement.

Il n'est pas nécessaire qu'il y ait au monde ni des quarrés, ni des triangles, ni des cercles, pour établir la vérité des Démonstrations geometriques, il suffit de leur possibilité. Quand Dieu n'eût jamais créé la matiere , elle eût toûjours été possible. Un être intelligent à qui il lui auroit plû reveler les vérités geometriques, les eût parfaitement entenduës. Cet Etre Souverain, source de toute vérité, auroit bien sçû du moins qu'un triangle possible, étoit moitié d'un parallelogramme pollible. On ne peut pas même pousser aflės loin l'extravagance , pour ofer dire, que quand bien il n'y auroit à present dans l'Univers aucun Agent créé qui pût tracer un quarré parfait , il fût impossible à celui qui a créé la matiere , d'en enfermer une petite portion dans un espace parfaitement quarré; ainsi la vérité des Incommensurables subfiste invinciblement.

Voila donc les points démontrés impossibles. Mais voici bien autre chose.

pas, que de

Si le point est impossible, qu'est-ce donc que la rencontre des deux côtés qui forment l’Angle du quarré ? Si le point eft impoffible , le cercle est impossible. Car fi Dieu forme une boule parfaite , & qu'il la pose sur un plan parfait, le point de contingence aura-t-il quelque étenduë? S'il a quelque étenduë, il est surface ou pour le moins ligne; ainsi la tangente & le cercle auront une étenduë commune, contre ce qui est démontré dans la 11° Proposition du trosiéme Livre ; dirés-vous, que Dieu ne sçauroit faire un cercle parfait ? Vous aurés plûtôt fait de dire

que

Dieu n'est borner fi ridiculement la puissance.

D'ailleurs quand je considere attentivement l'existence des êtres, je comprens très-clairement que l'existence appartient aux unités, & non pas aux nombres. Je m'explique.

Vingt hommes n'existent que parce que chaque homme existe; le nombre n'est qu'une dénomination exterieure, ou pour mieux dire, une repetition d'unités auxquelles seules appartient l'existence; il ne sçauroit jamais y avoir de nombres, s'il n'y a des unités ; il ne sçauroit jamais y avoir vingt hommes, s'il n'y a un homme : cela bien conçû, je vous demande ce pied cubique de matiere, estce une seule substance, en sont-ce plusieurs ? Vous ne pouvés par dire que ce soit une seule substance; car vous ne pourriés pas seulement le diviser en deux; fi vous dites que c'en sont plusieurs , puisqu'il y en a plusieurs, ce nombre tel qu'il soit, est composé d'unités, s'il y a plusieurs substances exiftantes , il faut qu'il y en ait une , & cette une ne peut en être deux; donc la matiere est composée de substances indivisibles. Voila notre raison réduite à d'étranges extremis

mes

tés. La Geometrie nous démontre la divisibilité de la matiere à l'infini , & nous trouvons en même temps qu'elle est composée d'indivisibles. Humiļions-nous encore une fois, & reconnoissons qu'il n'appartient pas à une créature, quelque excellente qu'elle puisse être, de vouloir concilier des vérités, dont le Créateur a voulu lui cacher la compatibilité. Ces dispositions nous rendront plus soumis aux Mysteres, & nous accoûtumeront à respecter des vérités qui sont par leur nature impénétrables à notre esprit, que nous venons de trouver affés borné, pour ne pouvoir pas même concilier des Démonstrations mathematiques.

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