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ligne IGN, y

I

ait ajoûté la li

gne IA, par la E

A

même Propofi

L

tion, IAB, fe

B

ra plus longue G

F

N

H

que GH puifque IB, GH, font toutes deux perpendiculaires fur CD, & obliques fur IN. Donc la ligne AB, eft égale à la ligne GH, puifqu'on n'y peut rien ajoûter, ni en rien retrancher, fans la rendre inégale à la ligne GH.

Pour prouver maintenant que la perpendiculaire GH, eft en effet perpendiculaire fur les deux lignes CD, EF, il n'y a qu'à fe fouvenir de la precedente Propofition, où l'on a démontré que fi une feule ligne eft perpendiculaire fur CD, & oblique fur EF, toute autre ligne qui fera perpendiculaire fur CD, fera oblique fur EF. Donc fi GH, étant perpendiculaire fur CD, étoit oblique fur EF, il s'enfuivroit que AB, qui eft perpendiculaire fur CD, feroit oblique fur EF, ce qui eft contre la fuppofition.

QUATRIE ME PROPOSITION.

Par un point donné comme A, faire paffer une parallele à une ligne donnée comme BC, c'est-à-dire, tirer par le point A, une ligne, dont tous les points foient toûjours à égale distance de la ligne BC, en forte que ces deux lignes prolongées de part & d'autre à l'infini, ne puiffent jamais se rencontrer.

Du point donné

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A, foit mené fur D

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point A, foit me

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née fur AF, la perpendiculaire EA, prolongée f

l'on veut en D; je dis que la ligne DGAE, est parallele à la ligne donnée BC.

Car par la conftruction, la ligne AF, étant perpendiculaire aux deux lignes DE, BC, il s'enfuit, par la precedente Propofition, que toute autre perpendiculaire, fur une de ces lignes, comme GH, Tera perpendiculaire fur les deux, & égale à la perpendiculaire AF: Donc les points G, A, feront chacun également éloignés de la ligne donnée BC; car la distance d'un point à une ligne, est mesurée par la perpendiculaire qui eft la plus courte de toutes. Donc tout autre point que la ligne DE, fera également éloigné de la ligne BC: Donc toute la ligne DE, fera toûjours à égale diftance de la ligne BC, en quoi confifte le parallelifme.

Il s'enfuit de cette conftruction, qu'étant donnée la ligne BC, & le point A, fi l'on mene la perpendiculaire AF, & une autre perpendiculaire comme GH, égale à la premiere, la ligne qui joindra les points A, G, fera la parallele demandéc.

AUTRE CONSTRUCTION.

Par le point donné A, foit menée à difcretion une oblique comme AG, fur la ligne BC.

Du point FI

A, pris pour

centre, foit

D

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décrite une

portion de B

cercle dont le

G

C

LH

raïon foit AG, & du point G, pris pour centre, foit décrit l'arc AH, dont le raion foit GA. Soit pris l'arc GF, égal à l'arc AH. Par le point F, & le point donné Д, foit menée la ligne DFIAE; Je dis qu'elle eft parallele à ligne BC.

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même : la li

G

-C

LH

gne FA, eft égale à la ligne GH, puifque ce font deux raïons de deux cercles égaux. D'ailleurs les arcs FG, AH, étant égaux par conftruction, les cordes qui les foutiennent feront égales, c'eft-àdire les lignes droites FG, AH. On peut donc confiderer les deux lignes droites GF, GA, comme deux obliques inégales entre elles, & inclinées de different côté, menées du point G, fur la ligne DE. On peut auffi confiderer les deux lignes droites AH, AG, comme deux autres obliques inégales entre elles & inclinées de different côté, menées du point A, fur la ligne BC. Mais ces deux dernieres obliques inégales entre elles, font chacune égale à chacune des deux premieres, c'est-à-dire, la ligne droi te GF, égale à la droite AH; GA, égale à AG; & de plus FA, distance des points de fection des deux premieres obliques, eft égale à GH, distance des points de fection des deux dernieres. Donc par la feptiéme Propofition du premier Livre, les deux points A, G, d'où partent les obliques, fon chacun également diftans de la ligne fur laquelle elles font menées. Donc les deux perpendiculaires AL, GI, font égales, donc la ligne qui les renferme eft parallele à la donnée.

CINQUIEME PROPOSITION.

Les également inclinées entre-paralleles font égales, les portions des paralleles qu'elles coupent font égales, & ces également inclinées font paralleles elles

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G

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E D

A

M

F

linées en-L tre les paralleles IA, LM. Soient menées des points B, A, les perpendiculaires BE, AF. Des points D, B, foient menées les perpendiculaires DH, BG: & foient joints les points B, D, par la ligne B D.

Puifqu'on fuppofe les obliques BC, AD, également inclinées, il faut que leurs éloignemens de perpendicule CE, DF, foient égaux. Or leurs perpendiculaires BE, AF, font égales, puifqu'elles font entre-paralleles, donc par le premier Cas de la fixiéme Propofition du premier Livre, les obliques BC, AD, font égales.

2o. Les portions des paralleles BA, CD, font égales. Car BA, eft égale à FE, puifque les lignes BA, FE, font toutes deux perpendiculaires entre les lignes BE, AF. Or CD, eft égale à FE, parce que CE, étant égale à DF; la grandeur E D qui leur eft commune, étant jointe à l'une & à l'autre, doit faire deux grandeurs égales. Donc CD, eft égale à BA, qui eft égale à FE.

3. Les lignes BC, AD, également inclinées, font paralleles elles-mêmes; car les trois lignes BD, DA, AB, font égales aux trois lignes BD, BC, CD, chacune à chacune. Donc par la feptiéme Propofition du premier Livre, les perpendiculaires DH, BG, font égales. Donc elles font entre-paral

leles.

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TROISIEME LIVRE.

Des Lignes droites terminées à une circonference.

Ai

PRE's avoir parlé dans les deux Livres précedens des lignes droites qui fe rencontrent & de celles qui ne peuvent jamais fe rencontrer, nous allons parler dans celui-ci des lignes droites terminées à la circonférence d'un cercle.

Ces lignes peuvent ou partir de dehors le cercle & le couper; en ce cas on les appelle Sécantes exterieures, telles font les li gnes AB, AC

Ou partir d'un point endedans de la circonference, D comme les lignes FD, FE; en ce cas on les nomme Sécantes interieures.

Ou partir d'un point hors E du cercle, & toucher la circonference fans la couper,

B

H

G

quoique prolongées, comme les lignes GH, IK, en ce cas on les nomme Tangentes.

Ou partir d'un point de la circonference même, & aboutir à un autre point, comme les lignes EC, LC. Celles-ci s'appellent Cordes.

Ainfi nous traiterons dans ce Livre; des Cordes; des Sécantes interieures & exterieures; & des Tangentes.

DES

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