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DI X I E'M E

LIV RE.

Des Solides.

N appelle Solide ou Corps, l'étenduë conside

rée avec ses trois Dimensions, longueur, largeur & profondeur.

Il y en a de réguliers & d'irréguliers de plusieurs especes. Par exemple:

Si l'on fuppose qu'un quarré coule parallelement à lui-même le long d'une perpendiculaire, il s'en formera une Figure solide , qu'on nomme Parallelipipede. Si la perpendiculaire est égale au côté du quarré, le Corps se nomme Cube.

Si au lieu d'un quarré, l'on prend un cercle que l'on fasse couler parallelement à lui-même, sa circonference décrira la surface d'un Solide , qu'on appelle Cylindre,

Si l'on choisit toute autre Figure re&iligne, comme un Triangle, un Pentagone, un Hexagone, & qu'on la faffe couler parallelement à elle-même le long d'une perpendiculaire, il s'en formera un Solide, qu'on appellera un Prisme Triangulaire, Pentagonal, Hexagonal, &c.

Si aïant choisi pour base une Figure re&iligne réguliere , l'on suppose une ligne élevée perpendiculairement sur son centre, que

de l'extremité de cette ligne, qui est en l'air, l'on tire plusieurs lignes aux angles de la Figure qui sert de base, le Solide renfermé par tous les triangles formés par ses lignes & par les côtés de la base , se nomme une Pyramide réguliere, Triangulaire , Pentagonale, &c. selon la base.

&

Le point de la perpendiculaire d'où partent toutes les lignes se nomme le sommet de la Pyramide. La perpendiculaire se nomme tout simplement la Perpendiculaire de la Pyramide; & les surfaces renfermées par deux lignes voisines tirées du sommet, se pomment les côtés de la Pyramide.

Si au lieu d'une Figure Rectiligne, l'on choisit un cercle pour base, & qu’aiant élevé une perpen: diculaire sur son centre, l'on suppose une infinité de lignes, partant du haut de la perpendiculaire & aboutissant à tous les points de la circonference, il s'en formera un Solide , appellé Cone régulier ou Rectangle.

Si l'on suppose un cercle tournant en lui-même sur fon diametre immobile, il s'en forıņera un Corps régulier appellé Spherę.

Le diametre s'appellera Axe de la Sphere.

Les deux extremités de l'Axę, les Poles de la Sphere.

La Sphere' aura manifeftement pour centre, le même centre que le cercle qui a servi à la former. On peut

inscrire dans la Sphere une infinité de Corps irreguliers, mais l'on ne peut y en inscrire que çinq réguliers; sçavoir,

Un renfermé sous quatre triangles équilateraux, appellé Tetrahedre.

Un renfermé sous fix quarrés, appellé Cube.

Un renfermé sous douze Pentagones , appellé Dodecaedre,

Un renfermé sous huit triangles équilateraux, appellé Octaedre.

Un renfermé sous vingt triangles équilateraux, appellé Icosahedre.

Pour démontrer commodément les principales proprietés des Solides, il faut se servir de la Geome

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trie des indivisibles, qui a un merveilleux avantage dans ces fortes de Démonstrations.

Nous avons déja vû qu'elle consiste à considerer les surfaces, comme composées de lignes paralleles ; ainfi un parallelogramme n'est autre chose qu'une base coulant parallelement à elle-même le long des points de la perpendiculaire ; d'où s'enfuit que

la base d'un Rectangle, ou quarré ou parallelogramme, est autant de fois contenu dans son Aire, qu'il y a de points dans la perpendiculaire, & que pour avoir cette Aire , il n'y a qu'à multiplier la base par la perpendiculaire.

Suivant la même analogie , nous allons considerer les Solides, comme composés de surfaces paralleles ; ainsi un Prisme n'étant autre chose qu'une infinité de Figures régulieres mises l'une sur l'autre parallelement à elles - mêmes, ou si vous voulés, que l'on considere comme coulant le long de la perpendiculaire du Prisme ; sa folidité n'est autre chose que la base prise autant de fois qu'il y a de points dans la perpendiculaire.

Ainsi pour avoir la solidité du Prisme, il n'y a qu'à multiplier la base par la perpendiculaire.

De là s'ensuit, sans autre démonstration,

Que les Prismes de mêine base & de même hauteur sont égaux.

Que les Prismes de même base, sont entre eux comme leurs hauteurs.

Que les Prismes de même hauteur, font entre eux comme leurs bases.

C'est la même chose pour les Cylindres , qui sont des Prismes réguliers d'une infinité de côtés, asant pour base un cercle.

Il s'ensuit encore que les Prismes obliques, c'està-dire , ceux dont la ligne qui va du sommet au

centre de la base, ne lui est pas perpendiculaire , sont égaux aux Prismes perpendiculaires ou réguliers, qui ont même base & même hauteur perpendiculaire.

C'est la même chose des Cylindres obliques à l'égard des Cylindres droits.

Car considerant la solidité du Cylindre ou Prifme perpendiculaire, comme divisée en tel nombre de tranches paralleles à la base que l'on voudra, la somme des tranches qui se trouvera dans ce Prisme perpendiculaire, sera égale à la somme des tranches qui se trouvera dans le Prisine oblique, puisque le droit & l'oblique peuvent être enfermés entre deux paralleles , & font supposés avoir la même hauteur.

Il s'enfuit encore que plusieurs Prismes dont toutes les bafes prises ensemble , font égales à une seule base , seront égaux en solidité au Prisme , qui aura cette seule base égale à toutes les autres, & la même hauteur.

Par consequent tout Prisme Polygone quelcons que, peut être divisé en autant de Prismes triangulaires qu'il a de côtés , & tous ces Prismes triangulaires pris ensemble , seront égaux au Prisme total.

PREMIERE PROPOSITION. Les Pyramides de même base & de même hauteur, sont égales.

Soient conçûës les Pyramides divisées en tel nombre de tranches paralleles à la base que l'on voudra, Si chaque tranche est égale à chaque tranche correspondante, la perpendiculaire M A , étant supa posée égale à la perpendiculaire FN, il y aura autant de tranches d'un côté que d'autre; & par cons

fequent de côté & d'autre , une somme égale de choses égales chacune à chacune; d'où s'ensuivra que le tout sera égal au tout. Or pour démontrer qu'une tranche est égale à fa correspondante, il faut les supposer fi minces, que ce ne soit plus que de simples superficies de Figures, & démontrer que chaque Figure est égale à la correspondante,

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1

N
D
M ΕΙ

L
Soient DAE, IFL, deux faces de Pyramides de
même hauteur fupposées entre les paralleles AF,
DL, & leurs sommets aux points A, F. Soit
supposé encore un plan qui les coupe parallelement
à la base , & qui forme fur les deux faces les sec-
tions BC, GH, paralleles aux deux lignes égales
DE, IL, qui sont chacune un côté des bases éga-
les des deux Pyramides. Si nous considerons ici la
face DAE, de l'une, & la face IFL, de l'autre, il
nous sera aisé de démontrer que la ligne' BC, est
égale à la ligne GH, puisque la ligne DE, est égale
à la ligne IL ; car par la 6 Proposition du 6€ Livre,
la bale BC, est à la base GH, comme la base DE,
à la base il. On démontrera la même chose sur
chacune des faces des deux Pyramides; donc la tran-
che qui a BC, pour l'un de ses côtés, est égale à la

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