trie des indivisibles, qui a un merveilleux avantage dans ces fortes de Démonftrations. Nous avons déja vû qu'elle consiste à confiderer les furfaces, comme compofées de lignes paralleles; ainfi un parallelogramme n'eft autre chose qu'une bafe coulant parallelement à elle-même le long des points de fa perpendiculaire; d'où s'enfuit que la bafe d'un Rectangle, ou quarré ou parallelogramme, eft autant de fois contenu dans fon Aire, qu'il y a de points dans la perpendiculaire, & que pour avoir cette Aire, il n'y a qu'à multiplier la bafe par la perpendiculaire. Suivant la même analogie, nous allons confiderer les Solides, comme compofés de furfaces paralleles; ainfi un Prisme n'étant autre chofe qu'une infinité de Figures régulieres mifes l'une fur l'autre parallelement à elles-mêmes, ou fi vous voulés, que l'on confidere comme coulant le long de la perpendiculaire du Prifme; fa folidité n'eft autre chofe que la bafe prise autant de fois qu'il y a de points dans fa perpendiculaire. Ainfi pour avoir la folidité du Prisme, il n'y a qu'à multiplier la base par la perpendiculaire. De là s'enfuit, fans autre démonftration, Que les Prismes de même base & de même hauteur font égaux. Que les Prismes de même base, font entre eux comme leurs hauteurs. Que les Prismes de même hauteur, font entre eux comme leurs bases. C'eft la même chofe pour les Cylindres, qui font des Prismes réguliers d'une infinité de côtés, aïant pour base un cercle. Il s'enfuit encore que les Prifmes obliques, c'està-dire, ceux dont la ligne qui va du fommet au centre de la bafe, ne lui eft pas perpendiculaire, font égaux aux Prifmes perpendiculaires ou réguliers, qui ont même base & même hauteur perpendiculaire. C'eft la même chofe des Cylindres obliques à l'égard des Cylindres droits. Car confiderant la folidité du Cylindre ou Prifme perpendiculaire, comme divifée en tel nombre de tranches paralleles à la bafe que l'on voudra, la fomme des tranches qui fe trouvera dans ce Prifme perpendiculaire, fera égale à la fomme des tranches qui fe trouvera dans le Prifine oblique, puifque le droit & l'oblique peuvent être enfermés entre deux paralleles, & font fuppofés avoir la même hauteur. Il s'enfuit encore que plufieurs Prifmes dont tou tes les bafes prifes enfemble, font égales à une feule base, feront égaux en folidité au Prisme, qui aura cette feule bafe égale à toutes les autres, & la même hauteur. Par confequent tout Prifme Polygone quelconque, peut être divifé en autant de Prifmes triangulaires qu'il a de côtés, & tous ces Prifmes triangulaires pris enfemble, feront égaux au Prifme total. PREMIERE PROPOSITION. Les Pyramides de même base & de même hauteur, font égales. Soient conçûës les Pyramides divifées en tel nombre de tranches paralleles à la bafe que l'on voudra. Si chaque tranche eft égale à chaque tranche correfpondante, la perpendiculaire MA, étant fuppofée égale à la perpendiculaire FN, il y aura au¬ tant de tranches d'un côté que d'autre ; & par con fequent de côté & d'autre, une fomme égale de chofes égales chacune à chacune; d'où s'enfuivra que le tout fera égal au tout. Or pour démontrer qu'une tranche eft égale à fa correfpondante, il faut les fuppofer fi minces, que ce ne foit plus que de fimples fuperficies de Figures, & démontrer que chaque Figure eft égale à fa correfpondante. Soient DAE, IFL, deux faces de Pyramides de même hauteur fuppofées entre les paralleles AF, DL, & leurs fommets aux points A, F. Soit fuppofé encore un plan qui les coupe parallelement à la base, & qui forme fur les deux faces les fections BC, GH, paralleles aux deux lignes égales DE, IL, qui font chacune un côté des bafes égales des deux Pyramides. Si nous confiderons ici la face DAE, de l'une, & la face IFL, de l'autre, il nous fera aifé de démontrer que la ligne BC, eft égale à la ligne GH, puifque la ligne DE, eft égale à la ligne IL; car par la 6 Propofition du 6e Livre, la bafe BC, eft à la bafe GH, comme la bafe DE, à la base IL. On démontrera la même chofe fur chacune des faces des deux Pyramides; donc la tranche qui a BC, pour l'un de fes côtés, est égale à la tranche qui a pour l'un de fes côtés GH, donc les deux Pyramides font égales en folidité. COROLLAIRE. Les Pyramides de même bafe font entre elles comme leurs hauteurs, & les Pyramides de même hauteur font entre elles comme leurs bafes; d'où fuit que, Si plufieurs Pyramides prifes ensemble, font toutes de même hauteur chacune, qu'une autre Pyramide dont la base foit égale à toutes les bafes des autres; cette derniere Pyramide fera égale en foli dité à toutes les autres, SECONDE PROPOSITION. Tout Prisme triangulaire peut être divifé en trois Pyramides égales en folidité, & par confequent toute Pyramide triangulaire eft le tiers d'un Prisme de même base & de même hauteur. A B F D E Soit le Prisme ABEFCD, couché fur une de fes faces, qui eft le Rectangle CDEF, & qui a pour fes deux autres faces, les Rectangles ABCD, ABEF. Soient chacun de ces trois Rectangles divifés par les, Diagonales DF, BC, BF, il se forme par cette di vifion trois Pyramides. L'une FBCA, l'autre FEDB, & l'autre FCD B. Ces trois Pyramides font neceffairement égales: car chacune des trois peut être confiderée, comme aïant pour base la moitié d'un Rectangle, c'est-à-dire, un triangle, & pour hauteur la perpendiculaire de l'un ou de l'autre des petits triangles égaux ACF, BDE. Par exemple, la Pyramide FBCA, a pour base le triangle ABC, & pour hauteur la perpendiculaire, qui tombe du fommet F, fur le côté AC. La feconde FEDB, a pour bafe le triangle FED, & pour perpendiculaire ou hauteur, celle qui tombe du point B, fur le côté D E. 1 La troifiéme a pour base le triangle CDF, & pour hauteur la même perpendiculaire. Ces trois Pyramides font donc égales en folide, & par confequent le Prifme triangulaire eft égal aux trois Pyramides de même base & de même hauteur. Ce que l'on vient de démontrer par la Pyramide triangulaire à l'égard de fon Prifme, s'applique aifément à toute autre Pyramide Pentagonale, Hexagonale, &c. comparée avec un Prifme de même genre, puifque tout Prisme peut être réduit en Prifmes triangulaires, auffi-bien que toute Pyramide en Pyramides triangulaires, & que toutes les bafes de ces Solides triangulaires prifes enfemble, étant égales à la bafe totale, les hauteurs égales, donnent une parfaite égalité de part & d'autre ; en forte que toutes les Pyramides triangulaires, font égales à la totale. Tous les Prifmes triangulaires égaux au Prifme total, & par confequent la Pyramide totale, eft le tiers du Prisme total, 1 |