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tranche qui a pour l'un de ses côtés GH, donc les deux Pyramides sont égales en solidité.

COROLLAIRE. Les Pyramides de même base font entre elles comme leurs hauteurs, & les Pyramides de même hauteur font entre elles comme leurs bases; d'où

suit que,

Si plusieurs Pyramides prises ensemble , sont toutes de même hauteur chacune, qu'une autre Pyramide dont la base foit égale à toutes les bases des autres; cette derniere Pyramide sera égale en foli: dité à toutes les autres,

SECONDE PROPOSITION. Tout Prisme triangulaire peut être divisé en trois Pyramides égales en solidité, & par consequent toute Pyramide triangulaire est le tiers d'un Prisme de méme base & de même hauteur,

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Soit le Prisme ABEFCD, couché sur une de fes faces, qui est le Rectangle CDEF, & qui a pour ses deux autres faces, les Rectangles ABCD, ABEF. Soient chacun de ces trois Rectangles divisés par les Diagonales DF, BC,BF, il se forme par cette di

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vision trois Pyramides. L'une FB6A, l'autre FEDB, & l'autre FCDB. Ces trois Pyramides font necefsairement égales : car chacune des trois peut être considerée, comme aiant pour base la moitié d'un Rectangle, c'est-à-dire , un triangle , & pour hauteur la perpendiculaire de l'un ou de l'autre des petits triangles égaux ACF, BDE.

Par exemple, la Pyramide FBCA, a pour base le triangle ABC, & pour hauteur la perpendiculais re, qui tombe du sommet F, sur le côté Ac.

La seconde FEDB, a pour base le triangle FED, & pour perpendiculaire ou hauteur, celle qui tombe du point B, sur le côté D E.

La troisiéme a pour base le triangle CDF, & pour hauteur la même perpendiculaire. Ces trois Pyramides sont donc égales en solide, & par consequent le Prisme triangulaire est égal aux trois Pyramides de même base & de même hauteur.

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COROLLAIRE.

Ce que l'on vient de démontrer par la Pyramide triangulaire à l'égard de son Prisme , s'applique aisément à toute autre Pyramide Pentagonale, Hexagonale, &c. comparée avec un Prisme de même genre, puisque tout Prisme peut être réduit en Prifmes triangulaires , aussi-bien que toute Pyramide en Pyramides triangulaires, & que toutes les bases de ces Solides triangulaires prises ensemble , étant égales à la base totale, les hauteurs égales , donnent une parfaite égalité de part & d'autre; en sorte que toutes les Pyramides triangulaires, sont égales à la totale. Tous les Prismes triangulaires égaux au Prisme total , & par consequent la Pyramide totale , est le tiers du Prisme total.

II. COROLLA ÍRE. Le Cone est le tiers du Cylindre, qui a même base & même hauteur : car le Cone est une Pyramide réguliere d'une infinité de côtés, comme le Cylindre est un Prisme régulier d'une infinité de côtés.

TROISIE'M É PROPOSITION. La solidité de la demi-Sphere, est égale aux deux tiers du Cylindre, qui a même base & même hauteur. N'

L

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B
H

А Soit supposé un Cylindre, aïant pour base un cercle dont le diametre soit B AC, & pour hauteur la ligne BN, moitié du diametre BC, terminée par la ligne NLO, égale au diametre BC, laquelle "ligne NL0, est diametre du cerclë opposé à la base du Cylindre. Sur le plan du Rectangle B CON, foit décrit le demi-cercle BLC, representant la demi-Sphere. Soit representé un Cone par le triangle NAO, lequel Cone auroit pour base un cercle aiant NO, pour diametre, & par consequent égal à la base du Cylindre, pour s'exprimer aätrement & alder l'imagination.

Supposons que le Ređangle BCON, tourne far l'axe L A, la ligne N B, décrira la furface cylinx

drique; le cercle BLC, décrira la demi-Sphere; les lignes NA, 10, décriront le Cone.

La ligne LA, est l'axe commun au Cylindre, au Cone & à la demi-boule. Soit encore tirée une ligne, comme DK, parallele à BC; cette ligne DK, tournant autour de l'axe LA, décrira un cercle égal à la base du Cylindre, & formera un plan qui coupera la demi-Sphere aux points FG : il est visible que

la section FG, sera un cercle aiant FG, pour diametre.

Le Cone total N A0, n'est autre chose qu'une infinité de cercles posés parallelement l'un sur l'autre, dont le nombre quel qu'il puisse être est mesuré par la perpendiculaire , en sorte que si la perpendiculaire LA, est supposée contenir 100000 parties, le Cone NAO, aura 100000 cercles paralleles dans sa solidité.

Considerons maintenant que si l'on ôte du Cylindre , la solidité de la demi-Sphere, restera une efpece d'écuëlle , dont le profil, ou pour mieux dire, la section est representée par la Figure NBELCO. Cette écuëlle dans sa folidité, est composée d'une infinité de plans posés parallelement l'un fur l'autre, & qui environnent la Sphere en forme de couron-, nes. Par exemple, quand la ligne DK, tourne sur l'axe LA, & que fa portion FG, décrit un des cercles du Cone, sa portion DE, ou IK, décrit autour de la Sphere, un plan qui l'entoure en forme de couronne, & qui a DE, pour largeur. Or l'écuëlle contient necessairement dans sa folidité, autant de couronnes, qu'il y a de cercles paralleles dans la folidité du Cone, puisque le nombre en est mesuré par la même perpendiculaire L A, ou NB.,

Si je puis donc faire voir que la couronne qui a DE pour largeur , est égale en Aire au cercle qui a

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B
H

А FG, pour diametre, la même chose s'ensuivra de toutes les autres couronnes, comparées avec leurs cercles correspondans dans le Cone, & par consequent la somme totale des couronnes qui forment l'écuëlle , sera égale à la somme totale des cercles qui forment le Cone; donc la solidité de l'écuëlle sera égale à la solidité du Cone; ce qui étant une fois montré, comme le Cone NAO, eft le tiers du Cylindre B CON; l'écuëlle en sera pareillement le tiers, & par consequent la demi-boule en sera les deux tiers.

Je n'ai donc plus qu'à démontrer l'égalité de la couronne DE, & du cercle qui a FG, poạr dias metre; pour cela,

Du point E, foit menée la perpendiculaire EH, & soit tiré le Raion E A.

Il est visible que les lignes DM, BA, EA, sont égales; ainsi je puis prendre les unes pour les autres, toutes les fois qu'il me plaira.

De même, les lignes EH, MA, MF, sont égales , parce que les lignes A L, LN, le sont aussi; je puis donc prendre pareillement les unes pour les autres. Le triangle EHA; est rectangle; donc le cercle

qui

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