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II. COROLLAIRE.

Le Cone eft le tiers du Cylindre, qui a même base & même hauteur: car le Cone eft une Pyramide réguliere d'une infinité de côtés, comme le Cylindre eft un Prisme régulier d'une infinité de côtés.

TROISIEME PROPOSITION.

La folidité de la demi-Sphere, eft égale aux deux tiers du Cylindre, qui a même base & même hauteur:

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Soit fuppofé un Cylindre, aïant pour base un cercle dont le diametre foit BAC, & pour hauteur la ligne BN, moitié du diametre BC, terminée par la ligne NLO, égale au diametre BC, laquelle ligne NLO, eft diametre du cercle oppofé à la bafe du Cylindre. Sur le plan du Rectangle B CON, foit décrit le demi-cercle B LC, reprefentant la demi-Sphere. Soit reprefenté un Cone par le triangle NAO, lequel Cone auroit pour bafe un cercle aïant NO, pour diametre, & par confequent égal à la bafe du Cylindre, pour s'exprimer autrement & aider l'imagination.

Suppofons que le Rectangle B CON, tourne fur l'axe LA, la ligne N B, décrira la furface cylin

drique; le cercle BLC, décrira la demi-Sphere; les lignes NA, A0, décriront le Conc.

La ligne LA, eft l'axe commun au Cylindre, au Cone & à la demi-boule. Soit encore tirée une ligne, comme DK, parallele à BC; cette ligne DK, tournant autour de l'axe LA, décrira un cercle égal à la base du Cylindre, & formera un plan qui coupera la demi-Sphere aux points FG: il eft vifible que la fection FG, fera un cercle aïant FG, pour diametre.

Le Cone total NAO, n'eft autre chose qu'une infinité de cercles pofés parallelement l'un fur l'autre, dont le nombre quel qu'il puiffe être eft mefuré par la perpendiculaire LA, en forte que fi la perpendiculaire LA, eft fuppofée contenir 100000 parties, le Cone NAO, aura 100000 cercles paralleles dans fa folidité.

Confiderons maintenant que fi l'on ôte du Cylindre, la folidité de la demi-Sphere, reftera une efpece d'écuelle, dont le profil, ou pour mieux dire, la fection eft reprefentée par la Figure NBELCO. Cette écuëlle dans fa folidité, eft compofée d'une infinité de plans pofés parallelement l'un fur l'autre, & qui environnent la Sphere en forme de couronnes. Par exemple, quand la ligne DK, tourne fur l'axe LA, & que fa portion FG, décrit un des cercles du Cone, fa portion DE, ou IK, décrit autour de la Sphere, un plan qui l'entoure en forme de couronne, & qui a DE, pour largeur. Or l'écuëlle contient neceffairement dans fa folidité, autant de couronnes, qu'il y a de cercles paralleles dans la folidité du Cone, puifque le nombre en eft mesuré par la même perpendiculaire LA, ou NB,

Si je puis donc faire voir que la couronne qui a DE pour largeur, eft égale en Aire au cercle qui a

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FG, pour diametre, la même chofe s'enfuivra de toutes les autres couronnes, comparées avec leurs cercles correfpondans dans le Cone, & par confequent la fomme totale des couronnes qui forment l'écuelle, fera égale à la fomme totale des cercles qui forment le Cone; donc la folidité de l'écuëlle fera égale à la folidité du Cone; ce qui étant une fois démontré, comme le Cone NAÔ, eft le tiers du Cylindre B CON; l'écuelle en fera pareillement le tiers, & par confequent la demi-boule en fera les

deux tiers.

Je n'ai donc plus qu'à démontrer l'égalité de la couronne DE, & du cercle qui a FG, pour diametre; pour cela,

Du point E, foit menée la perpendiculaire EH, & foit tiré le Raion E A.

Il eft vifible que les lignes D M, B A, EA, font égales; ainfi je puis prendre les unes pour les autres, toutes les fois qu'il me plaira.

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De même, les lignes EH, MA, MF, font égalės, parce que les lignes AL, LN, le font auffi je puis donc prendre pareillement les unes pour les

autres.

Le triangle EHA; eft rectangle; donc le cercle

qui

qui en aura l'Hypothenufe pour Raïon, fera égal aux deux cercles, qui auront pour Raion les lignes EH, HA, par le feptiéme Corollaire de la troifiéme Propofition du neuviéme Livre.

Si donc du cercle qui a AE, pour Raion, j'ôte le cercle qui a AH, pour Raion, reftera la valeur de l'Aire du cercle qui a EH, pour Raion.

C'eft-à-dire, en prenant les lignes égalés; fi du cercle qui a DM, pour Raion, jote le cercle qui a EM, pour Raion, reftera la valeur du cercle qui a FM, pour Raion.

Or quand j'ôte du cercle qui a DM, pour Raïon; le cercle qui a E M, pour Raïon, je förme la couronne qui a DE, pour largeur; donc cette couronne eft égale à l'Aire du cercle qui a FM, pour Raion.

QUATRIEME PROPOSITION.

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La fuperficie de la demi-Sphere, eft égale à la fuperficie cylindrique de même base & de même

hauteur.

Soit un Rectangle D DBCE, &

du point A, milieu

de fa base, foient ti

rées les li

gnes AD AE, & lá

B

perpendiculaire AG.

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Si l'on fait tourner ce Rectangle fur fon axe AG les côtés décriront une furface cylindrique, & la ligne AD, décrira un Cone.

-Si du Cylindre DBCE, vous ôtés la folidité du Co

L

he DAE, reftera un efpece

d'enton

noir, dont

Le profil, ou plûtôt

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La fection,

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fentée par la Figure DBAEC.

Cet entonnoir eft égal en folidité à la demi-Sphere BGC, puifque l'un & l'autre eft les deux tiers du Cylindre dont le Cone eft le tiers.

Cela fuppofé, je divife par la pensée la demiSphere en une infinité de calotes, reprefentées par les cercles concentriques; je divife pareillement l'entonnoir en une infinité de fuperficies cylindriques, toutes concentriques ; c'eft-à-dire, aïant AG, pour axe. Il eft vifible qu'il y a autant de calotes dans la folidité de la demi-Sphere, qu'il y a de fuperficies cylindriques dans l'entonnoir, puifque le nombre quel qu'il foit, en eft mefuré par le même Raion AB il eft vifible d'ailleurs que la grande fuperficie cylindrique BD, eft à la grande fuperficie fpherique BGC, comme la fuperficie cylindri que FI, eft à la fuperficie fpherique correfpondan

te FKL.

Or comme tout l'entonnoir eft égal à toute la demi-Sphere, c'eft-à-dire la fomme des calotes égale à la fomme des fuperficies cylindriques, fi la premiere calote étoit plus grande ou moindre que la premiere fuperficie cylindrique, chaque calote feroit plus grande ou moindre que la fuperficie cylin

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