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qui en aura l'Hypothenuse pour Raïon ; fera égal aux deux cercles, qui auront pour Raion les lignes EH, HA, par le septiéme Corollaire de la troisiéme Proposition dų neuviéme Livre.

Si donc du cercle qui a A E, pour Raion, j'ôte le cercle qui a AH, pour Raion, restera la valeur de l'Aire du cercle qui a EH, pour Raion.

C'est-à-dire , en prenant les lignes égales ; fi du cercle qui a DM, pour Raion , jõte le cercle qui a EM, pour Raion, restera la valeur du cercle qui a FM, pour Raion.

Or quand j'ôte du cercle qui a DM, pour Raion; le cercle qui a E M, pour Raion , je förme la couronne qui a DE, pour largeur ;donc cette couronne est égale à l'Aire du cercle qui a FM, pour Raion.

QUATRI E'M E PROPOSITION. La superficie de la demi-Sphere, est égale à la superficie cylindrique de même base & de même hauteur.

Soit un
Rectangle Di
DBCE, &
du point
A, milieu

K
de la base,
foient tia
rées les li-
gnes ADS

F AE, & lá perpendiculaire AG.

Si l'on fait tourner ce Rectangle sur son axe AG, les côtés décriront une surface cylindrique, & la ligne AD, décrira un Cone. - Si du Cylindre DBCE,

vous ôtés la folidité du Co*

L

В.

ne D , çestera un сіресе, Di

G d'entonpoir, dont le profil,

K ou plûtôt La section, est reprefentée par B

FA la Figure DBAEC.

Cet entonnoir est égal en solidité à la demi-Sphere BGų, puisque l'un & l'autre est les deux tiers du Cylindre dont le Cone est le tiers.

Cela fupposé, je divise par la pensée la demiSphere

en une infinité de calotes, representées par les cercles concentriques ; je divise pareillement l'entonnoir en une infinité de superficies cylindriques, toutes concentriques ; c'est-à-dire , aiant AG,

Il est visible qu'il y a autant de calotes dans la solidité de la demi-Sphere, qu'il y a de fu, perficies cylindriques dans l'entonnoir, puisque le nombre quel qu'il soit, en est mesuré par le même Raion A B; il est visible d'ailleurs que la grande superficie cylindrique BD, est à la grande superficie spherique BGC, comme la superficie cylindric que FI, est à la superficie spherique correspondante FKL.

Or comme tout l'entonnoir est égal à toute la. demi-Sphere, c'est-à-dire la somme des calotes égale à la somme des fuperficies cylindriques, fi, la premiere calote étoit plus grande ou moindre que la premiere superficie cylindrique, chaque calote sea roit plus grande ou moindre que la superficie cylin

pour axe.

drique correspondante, & le tout d'une part plus grand ou moindre que le tout de l'autre, contre la lupposition; donc la premiere superficie cylindrique est égale à la premiere fupeficie spherique.

COROLLAIRE. Dans cet exemple , la superficie cylindrique est double de l'Aire du cercle qui lui sert de base. Car nous ayons vû que pour avoir l'Aire d'un cercle, il faut multiplier la demi-circonference par le Raion, & pour avoir ici la superficie cylindrique, il faut multiplier par le Raïon la circonference entiere, puisque la superficie cylindrique est conçûë décrite par la circonference, coulant parallelement à ellemême le long du Raion; donc la superficie de la demi-boule qui lui est égale , est double du cercle qui lui fert de base.

1. CÔR ÖLL À IR E. La superficie de la Sphere est quadruple de l'Aire de son grand cercle; car la demi-Sphere aïant sa superficie double, la Sphere entiere a la superficie quadruple de l'Aire du même cercle. Voila cette merveilleuse Proposition que son premier Inventeur Archimede, ordonna qu'on écrivit sur son tombeau.

.

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CINQUIEME PROPOSITION:

:: Si la demi-Sphere representée par DOB, l'on retranche le Segment Co, formé par le plan GH, parallele au diametre BD; la solidité de la portion de Sphere restante DEAB, est égale aux deux tiers du Cylindre G B D H, plus la solidité du Cone CP A, qui a pour base le cerele qui sépare les deux Segmensa

M

N

I

H

B В
E

P Pour le prouver , je démontre d'abord que la cuvette convexe PBAP DC, est les deux tiers du Cylindre GBDH, qui a même base & même hauteur. Pour cela, je mene les Diagonales P M, PN, & les perpendiculaires AE, CF; je mene de plus les lignes PG, PH. Premierement, le Cone IPK, est égal à la portion d'écuelle GB A, HDC, parce que chaque cercle dans le Cone, ainsi qu'il a été démontré, est égal à chaque couronne correspondante dans l’écuëlle.

Si donc le Cone IP K, eft le tiers du canon GBE AHDFC, la portion d'écuëlle GBA, HDC, sera pareillement le tiers du canon, quent le Solide mixte BAE, DCF, sera les deux tiers du canon. J'appelle Canon la solidité comprise entre les deux superficies cylindriques & concentriques par les lignes GBA ECFDH, c'est-àdire, pour m'exprimer autrement, ce qui reste du cylindre GB DH, quand on a retranché interieures ment le cylindre A ECF. Il faut donc que je démontre d'abord que

le canon est triple du Cone IPK; or cela est aisé à prouyer, puisque pour avoir leurs solidités, je multiplie le même Aire par deux hauteurs dont l'une eft ta

& pár

pár confe

ple de l'autre; car pour avoir la solidité du canon, je multiplie la couronne GACH, par la hauteur GB; & pour avoir la solidité du Cone IPK, je multiplie l'Aire du cercle IK, qui est égale à la couronne , seulement par le tiers de cette hauteur ; donc ce Cone est le tiers du canon, donc la solidité mixte BAEDCF, est les deux tiers du canon.

Considerant maintenant la cuvette E APCF, je vois qu'elle est les deux tiers du Cylindre A EFC; donc cette cuvette jointe avec le Solide B AEDCF, est les deux tiers du canon & du Cylindre ACEF, c'est-à-dire, de tout le Cylindre GLHBPD. Or cette cuvette, avec le Solide mixte , compofe la cuvette totale spherique BAPCD; donc cette cuvette spherique est les deux tiers du Cylindre GHBD, qui a même base & même hauteur.

Si maintenant à cette cuvette spherique dont la solidité m'est connuë, j'ajoûte la solidité du Cone AP C, j'aurai la solidité du segment de Sphere en question ; donc tout segment de demi-Sphere aïant un grand cercle pour base, est égal aux deux tiers du Cylindre de même base & de même hauteur que lui, plus le Cone de même hauteur , qui a pour base le petit cercle qui forme le segment.

COROLLAIRE. La cuvette spherique B APCD, est égale en folidité à la cuvette cylindrique GBPDH, puisque l'une & l'autre est les deux tiers du Cylindre qui a même base & même hauteur.

SIX I E'ME PROPOSITION. La superficie d'une portion de demi-Sphere, est égale à la superficie cylindrique du Cylindre qui a même base & même hauteur.

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