ÆäÀÌÁö À̹ÌÁö
PDF
ePub
[ocr errors]

drique correfpondante, & le tout d'une part plus grand ou moindre que le tout de l'autre, contre la fuppofition; donc la premiere fuperficie cylindrique eft égale à la premiere fupeficie fpherique.

COROLLA IR E.

Dans cet exemple, la fuperficie cylindrique eft double de l'Aire du cercle qui lui fert de bafe. Car nous avons vû que pour avoir l'Aire d'un cercle, il faut multiplier la demi-circonference par le Raïon, & pour avoir ici la fuperficie cylindrique, il faut multiplier par le Raion la circonference entiere, puifque la fuperficie cylindrique eft conçûë décrite par la circonference, coulant parallelement à ellemême le long du Raion; donc la fuperficie de la demi-boule qui lui eft égale, eft double du cercle qui lui fert de base.

II. COROLLAIRE.

La fuperficie de la Sphere eft quadruple de l'Aire de fon grand cercle; car la demi-Sphere aïant fa fuperficie double, la Sphere entiere a fa fuperficie quadruple de l'Aire du même cercle. Voila cette merveilleufe Propofition que fon premier Inventeur Archimede, ordonna qu'on écrivit fur fon tombeau.

CINQUIEME PROPOSITION.

A

Si la demi-Sphere reprefentée par DO B, l'on retranche le Segment COA, formé par le plan GH, parallele au diametre BD; la folidité de la portion de Sphere reftante DCAB, eft égale aux deux tiers du Cylindre G BDH, plus la folidité du Cone CPA, qui a pour base le cercle qui fépare les deur Segmens

236

[blocks in formation]

Pour le prouver, je démontre d'abord que la cuvette convexe PBAPDC, eft les deux tiers du Cylindre GBDH, qui a même bafe & même hauteur. Pour cela, je mene les Diagonales P M, PN, & les perpendiculaires AE, CF; je mene de plus les lignes PG, PH. Premierement, le Cone IPK, est égal à la portion d'écuelle GBA, HDC, parce que chaque cercle dans le Cone, ainfi qu'il a été démontré, eft égal à chaque couronne correfpondante dans l'écuelle.

Si donc le Cone IP K, eft le tiers du canon GBE AHDFC, la portion d'écuelle GBA, HDC, fera pareillement le tiers du canon, & par confequent le Solide mixte BAE, DCF, fera les deux tiers du canon. J'appelle Canon la folidité comprise entre les deux fuperficies cylindriques & concentriques par les lignes GBAECF DH, c'est-àdire, pour m'exprimer autrement, ce qui refte du cylindre GB DH, quand on a retranché interieure ment le cylindre AECF.

Il faut donc que je démontre d'abord que le canon eft triple du Cone IPK; or cela eft aifé à prouver, puifque pour avoir leurs folidités, je multiplie le même Aire par deux hauteurs dont l'une eft tri

ple de l'autre; car pour avoir la folidité du canon, je multiplie la couronne GACH, par la hauteur GB; & pour avoir la folidité du Cone 1PK, je multiplie l'Aire du cercle IK, qui eft égale à la couronne, feulement par le tiers de cette hauteur; donc ce Cone eft le tiers du canon, donc la folidité mixte BAEDCF, eft les deux tiers du canon.

Confiderant maintenant la cuvette EAP CF, je vois qu'elle eft les deux tiers du Cylindre AE FC; donc cette cuvette jointe avec le Solide B AEDCF, eft les deux tiers du canon & du Cylindre ACEF, c'est-à-dire, de tout le Cylindre GLHB P D. Or cette cuvette, avec le Solide mixte, compofe la cuvette totale fpherique BAP CD; donc cette cuvette fpherique eft les deux tiers du Cylindre GHBD, qui a même base & même hauteur.

Si maintenant à cette cuvette fpherique dont la folidité m'eft connue, j'ajoûte la folidité du Cone APC, j'aurai la folidité du fegment de Sphere en queftion; donc tout fegment de demi-Sphere aïant un grand cercle pour bafe, eft égal aux deux tiers du Cylindre de même base & de même hauteur que lui, plus le Cone de même hauteur, qui a pour base le petit cercle qui forme le fegment.

COROLLAIRE.

La cuvette fpherique BAP CD, eft égale en solidité à la cuvette cylindrique GBPDH, puifque l'une & l'autre eft les deux tiers du Cylindre qui a même bafe & même hauteur.

[blocks in formation]

La fuperficie d'une portion de demi-Sphere, eft égale à la fuperficie cylindrique du Cylindre qui a même base & même hauteur.

Lüj

[blocks in formation]

Soit une portion de demi-Sphere BQ P NM, dont le grand cercle qui lui fert de base ait la ligne BMN, pour diametre, & foit le Cylindre B AON, de même base & de même hauteur, je dis que la fuperficie cylindrique eft égale à la fpherique. Soient tirées les lignes MA, MO, MO, MP.

Pour le prouver, fi du Cylindre je retranche le Cone AMO, reftera la cuvette cylindrique ABMNO, égale en folidité, par le précedent Corollaire, à la cuvette fpherique QB MNP, qui refte du feg. ment propofé lorsqu'on en retranche le Cone QMP; je divife par la penfée la cuvette cylindrique, en une infinité de fuperficies cylindriques & concentriques, telles que font AB, 1C, 2D, 3E, 4F, 5G, 6H, 71, 8K, 9L. Je divife auffi par la penfée la cuvette fpherique en une infinité de portions de fuperficies fpheriques & concentriques, telles que font QB, RC, SD, TE, VF, XG, YH, ZI, †K, L.

Il est évident qu'il y a autant de fuperficies cylindriques pour compofer la cuvette cylindrique, que de fuperficies fpheriques pour compofer la folidité de la cuvette fpherique, parce que le nombre des fuperficies cylindriques eft mefuré par le Raïon BM, & que le nombre des fuperficies fpheriques eft mefu

ré par le même raïon. Si donc la premiere fuperficie cylindrique étoit plus grande ou moindre que la premiere fpherique, la feconde feroit plus grande ou plus petite que la feconde, & la totalité d'une part plus grande ou moindre que la totalité de l'autre; c'eftà-dire, la folidité de la cuvette cylindriqué plus grande ou moindre que la folidité de la cuvette fpheriqué, contre le Corollaire précedent; donc la premiere d'une part eft égale à la premiere de l'autre, c'eft-àdire, la fuperficie cylindrique ABON, égale à la fuperficie fpherique QBNP. Ce qu'il falloit démonter.

De la comparaifon des Solides.

Comme nous avons eu befoin pour la comparaifon des plans, de la Raifon de la longueur à la longueur, & de la largeur à la largeur, ce qui nous a obligés d'avoir recours à la Raifon composée de deux Raifons; ici étant obligés de comparer trois dimenfions, il faut neceffairement confiderer une Raifon compofée de trois Raifons.

DEFINITION.

Lorfqu'aïant trois Raifons, comme par exemple, la Raifon de 1 à 3, la Raifon de 2 à 7, la Raifon dé 4 à 5, je les difpofe comme il fuit, 1, 3. 2, 7. 4; 5. & que je multiplie les trois Antecedens l'un par l'autre, & les trois Confequens de même; il me vient deux nouveaux termes, comme 8, 105. Ces deux nouveaux termes forment une nouvelle Raison, qui eft dite Raifon compofée de trois autres.

Si les trois Raifons compofantes font égales, comme par exemple, I, 2. 3, 6. 4, 8.

La Raifon qui fera compofée de ces trois Raifons égales, comme 12, 96, fera dite Raifon triplée de la Raifon de 1 à 2, ou de 3 à 6, qui eft la même.

Il faut prendre garde à ne pas confondre la Raison triplée avec la Raifon triple, car 12 & 96 font en Rai

[ocr errors]
« ÀÌÀü°è¼Ó »