D

fon triplée de 1 à 2, & non pas en Raifon triple; ce feroit 12 & 72, qui feroient en Raison triple de 1 à 2, Maintenant confiderons ces deux Parallelipipedes. Le premier aïant pour bafe le Recangle ADC, & le fecond pour bafe le Rectangle EGH; le premier pour hauteur la ligne AB, & le fecond pour hauteur la ligne EF. Il eft certain que pour avoir la folidité du premier Parallelipipede, je dois multiplier AD, par AC, pour avoir la bafe; puis multiplier

ce pro- G duit par la

hau

teur

E

A

阿

H

AB,

pour

avoir

la fo

lidité

c'est-à

dire,

que je dois

wulti

plier

les trois dimenfions l'une par l'autre; il en eft de même de l'autre Parallelipipede.

Donc fi je difpofe ces trois dimensions d'une part, en forte qu'elle foient chacune l'Antecedent d'une Raifon, & que d'autre part je difpofe les trois dimenfions du fecond Parallelipipede, en forte qu'elles foient chacune le Confequent d'une Raifon; il eft vifible que la Raifon compofée de ces trois Raifons, fera la même chofe que les deux Parallelipipedes, & par confequent qu'elle m'en exprimera le rapport.

Voila, par e

xemple les trois

Raifons

C

A,

H.

E

A

B,

de AD,

F.

E.

à EG; de

CA, à EH; & de AB, à EF.

Les trois Antecedens AD, CA, AB, multipliés l'un par l'autre, donnent le premier Parallelepipede; & les trois Confequens EG, EH, EF, donnent le fecond.

D'où s'enfuit, fuivant notre définition, que le premier Parallelipipede, eft au fecond en Raifon compofée de la Raifon de la ligne A D, à la ligne EG; de la Raifon de la ligne CA, à la ligne EH; & de la Raifon de la ligne AB, à la ligne EF, c'eft-à-dire, de la largeur à la largeur, de la longueur à la longeur, & de la hauteur à la hau

teur.

Si ces trois Raisons avoient été égales, c'eft-àdire, fi la largeur avoit été à la largeur, comme la longueur à la longueur, & la hauteur à la hauteur, ces deux Parallelipipedes euffent été appellés

Solides femblables, & auroient été l'un à l'égard de l'autre en Raison triplée de la largeur de l'un à la largeur de l'autre, ou de la hauteur à la hauteur, ou de la longueur à la longueur.

Si donc je fçai, par exemple, que la longueur de l'un, ou la largeur de l'un, ou la hauteur de l'un de ces deux Solides femblables, foit double de la longueur, de la largeur, ou de la hauteur de l'autre, je n'ai qu'à prendre la Raison triplée de 2 à 1, pour avoir tout d'un coup le rapport qui eft entre leurs folidités, ainfi.

2, I. 2 , I. 2, I.

Je multiplie les trois Antecedens l'un par l'autre,' & les trois Confequens de même; vient la Raifon 8, 1; d'où je connois que l'un de ces deux Parallelipipedes femblables eft octuple de l'autre. Rédui fons maintenant ceci ce Propofitions.

SEPTIEME PROPOSITION.

Les Parallelipipedes font en Raifon composée de la largeur à la largeur, de la longueur à la longueur, & de la hauteur à la hauteur.

HUITIEME PROPOSITION.

Les Parallelipipedes femblables, font en Raifon triplée de leurs dimensions homologues. Cela eft démontré.

NEUVIEME PROPOSITION.

Les Prismes triangulaires font entre eux comme les Parallelipipedes dont ils font les moitiés. Cela n'a pas befoin d'explication.

DIXIE'ME PROPOSITION.

Les Prifmes triangulaires femblables font entre

eux en Raison triplée de leurs dimenfions homologues. Cela eft démontré,

COROLLAIRE.

Tous les Prismes femblables Pentagonaux, Hexagones, &c. font entre eux en Raifon triplée de leurs dimenfions homologues, car ils peuvent être réduits en Prismes triangulaires.

ONZIE ME PROPOSITIO N.

Les Pyramides femblables font entre elles en Raifon triplée de leurs dimenfions homologues, car étant le tiers de leurs Prismes, elles font entre elles en même Raison.

DOUZIE'ME

PROPOSITION.

Les Cylindres font entre eux en Raifon compofée de la base à la bafe, & de la hauteur à la hauteur car ce font des Prifmes réguliers d'une infinité de côtés.

COROLLAIRE.

Les Cylindres femblables, c'eft-à-dire, dont la hauteur eft à la hauteur, comme le raïon ou la circonference de la bafe, eft au raïon ou à la circonference de l'autre bafe, font entre eux en Raifon triplée de leurs dimensions homologues.

II. COROLLAIRE.

Les Cones femblables font entre eux en Raifon triplée de leurs dimenfions homologues, car ils font en même Raifon que les Cylindres dont ils font le tiers.

III. COROLLAIRE.

Les Spheres font entre elles en Raison triplée de

leurs raïons; car ces Spheres font chacune les deux tiers d'un Cylindre, & ces Cylindres font femblables, puifque la hauteur eft à la hauteur, comme le diametre de la base de l'un, au diametre de la bafe de l'autre, & comme la circonference de la base à la circonference.

En un mot, tous les Corps ou Solides femblables de même genre, font entre eux en Raifon triplée de leurs dimenfions homologues.

Ainfi fi l'on me prefente, par exemple, deux boulets de canon, tels que le raion de l'un foit double du raïon de l'autre; je vois d'abord que la folidité du plus gros, fera octuple de la folidité du moindre; car il faut prendre la Raifon triplée de 1 à 2.

1, 2. I, 2. I, 2.

La multiplication des trois Antecedens donne 1, & celle des trois Confequens donne 8, ainfi j'ai 1, 8 pour Raifon triplée de la Raifon des raïons.

On expliquera aifément par là, pourquoi un gros boulet, toutes proportions gardées, va beaucoup plus loin qu'un moindre; car fi le boulet de huit livres eft fuppofé partir avec la même vîteffe que le boulet d'une livre, il faut qu'il ait huit fois autant de mouvement que le petit ; puisqu'aïant huit fois autant de pefanteur, il faut une force octuple pour le mouvoir avec autant de rapidité.

Mais en même temps qu'il a huit fois autant de pefanteur, fa furface n'eft que quadruple de la furface du petit boulet, par le fecond Corollaire de la quatriéme Propofition de ce Livre, puifque ces deux furfaces font entre elles comme les Aires des grands cercles, & que ces Aires font en Raifon doublée des raïons, c'eft-à-dire, comme 1 eft à 4.

Or les Corps qui fe meuvent, ne perdent de leur