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bole, comme E, F, l'on

Ar

B
mene deux perpendicu-
laires, comme FG, EH,
sur l'Axe, le quarré de la

Η.
G

I
ligne Eh, sera au quar-
ré de la ligne FG, com-
me la portion d'Axe BH,

N...,

M à la portion d'Axe BG. Cette proprieté est supposée constituer la nature de la Parabole.

Е, J'acheve maintenant le L.....

F Rectangle ABCD, dans l'Aire duquel notre Parabole CEFB, se trouve ck

D décrite, & je suppose que ce Rectangle tourne sur l’Axe immobile BD; ce Rectangle ainsi tournant décrira un Cylindre , qui aura pour base un cercle dont le raïon fera CD, & pour hauteur la ligne D.

La Parabole cependant tournant autour du même Axe immobile, décrira un Corps solide terminé en pointe , au sommet B, qui aura pour base le même cercle que le Cylindre, & c'est ce Solide que j'appelle Fuseau Parabolique.

que la solidité de ce Fuseau, eft moitié de la solidite du Cylindre.

La solidité du Cylindre contient autant de cercles égaux à la base, qu'il y a de points dans la ligne BD; ainsi les élemens du Cylindre ne décroissent point.

La solidité du Fuseau contient autant de cercles paralleles à la base, qu'il y a de points dans la même ligne BD; ainsi il y a autant de cercles ou d'élemens dans le Fuseau, qu'il y en a dans le Cylindre; mais

Je dis

ces cercles ou élemens du Fuscau, vont toûjours en A

B décroissant : il n'y a donc plus qu'à examiner s'ils décroissent en même Raifon que les hauteurs: car K

G en ce cas, par la précedente Proposition, ils seront moitie de tous les cercles duCylindre pris ensemble, qui ne décroissent point. I

E

H J'examine donc dans ce Fuseau le cercle qui a pour raion EH, & je le compare avec le cercle

D qui a pour raion FG. Je sçai d'ailleurs

d'ailleurs que les cercles sont entre eu comme les quarrés de leurs raions ; donc le cercle dont le raion est EH, est du cercle dont le raïcn est FG, comme le quarré de la ligne EH, est au quarré de la ligne FG. Or.

par la fuppofition, & suivant la proprieté de la Parabole, le quarré de la ligne E H, est au quarré de la ligne É G, comme la hauteur BH, à la hauteur BG.

Donc le cercle qui a pour raïon EH, est au cercle qui a FG pour raion, comme la hauteur BH, est à la hauteur BG.

Donc les cercles ou élemens qui composent le Fuseau, décroiffent en même Raifon que les hautcurs; donc le Fuseau Parabolique est moitié du Cylindre.

Il eft visible que l'espece d'entonnoir qui reste forfque de la folidité du Cylindre, l'on ôte le Fuseau Parabolique, est égale à ce Fuseau, puisque le Fu

seau est moitié du Cylindre : & comme ils ont mê.me hauteur; fçavoir, te Fuseau la ligne BD, & l'entonnoir la ligne-CA; ils ont l'un & l'autre même nombre d'élemens; d'où s'ensuit sans autre démonstration, que la couronne, qui a pour largeur la ligne IE, que je suppose autant éloignée de la base de l'entonnoir AB, que la ligne FG; eft éloignée de CD, base du Fuseau , elt égale au cercle qui a FG, pour diametre, puisque ce cercle est l'élement du Fuseau correspondant à la couronne , pareil élement de l'entonnoir.

Jusques à present nous avons confideré les grandeurs dont les élemens décroiffent en même Raifon que les hauteurs.

Mais on peut considerer des élemens qui décroîtront en Raifon doublée des hauteurs.

On peut même considerer des éle.

A mens qui décroîtront en Raison

E triplée , quadru- ? plée,&c.de la Raifon des hauteurs; & ces speculations n'ont point de bornes. Il s'agit

F maintenant d'exaRH

M
miner quel rap-
port la somme de
ces élemens aura

H
T

N avec la somme des élemens qui ne dé. croissent point.

Je suppose le Rectangle ABCD,

C

B В.

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Z

divisé en

deux triangles par la A

B Diagonale BC.

E Les lignes CD,

р TN, RM, PO, AB, sont élemens du Re&angle.

Les lignes CD, GN, FM, El, sont élemens du

F
R .........

M triangle BDC, correspondans aux élemens du Rec

T

H tangle. Nous a

N vons vû qu'ils décroissent arihtmetiquement; c'eftà-dire, que CD, С

D està GN, comme BD, eft à BN; que CD, eft à Em, comme BD, est à BM; que CD, eft à 10, comme BD, à BO.

Maintenant, fi aux deux lignes CD, GN, je cherche une troisiéme proportionelle ; c'est-à-dire, si je fais, comme CD, eft à GN, ainsi GN, à une troisiéme ligne, & que cette ligne soit NH; il est certain par ce qui a été ci-devant enseigné dans les proportions, que les lignes CD, HN, seront en Raison doublée de la Raison de CD, à GN, ou de BD, à BN, & qu'ainsi la ligne pn, décroîtra à l'égard de la ligne CD, en Raison doublée des hauteurs BN, B D.

Je fais la même chose à l'égard de tous les élemens du triangle ; par exemple, je cherche une troifiéme proportionelle aux lignes CD, FM, que je fuppose être LM, je cherche de même une troi

fiéme proportionelle aux lignes CD, EO, que je fuppose être 10, & ainsi de tous les autres élemens dų triangle. Par tous les points comme H, L,1, je mene la courbe CHLIB, & j'ai pour lors l'espace mixte CHLIBD, dont les élemens décroissent en Raison doublée des hauteurs.

Que si je voulois avoir une espace dont les élemens décroissent en Raison triplée des hauteurs, il est visible que je n'aurois qu'à chercher une quatrićme proportionelle aux lignes CD, GN, HN, aụx lignes CD, FM, LM, aux lignes CD, EO, 10, &c. & mener une ligne courbe par tous les points déterminés par ces quatriémes proportionelles, & ainsi à l'infini.

PROPOSITION. Si l'on a deux Figures, deux Solides, en un mot, deux grandeurs homogenes à comparer , & que ces deux Figures ou Solides, étant de même hauteur, les élemens de l'une ne décroissent point, pendant que les elemens de l'autre décroîtront toûjours en Raison doublée de la Raison des hauteurs; la Figure ou Solide dont les élemens ne décroissent point , sera triple de celle dont les élemens décroissent.

La démonstration ordinaire est fort embroüillée; en voici une par Arithmetique, qui est plus à la portée de tout le monde.

Je suppose deux Figures de même hauteur, & que cette hauteur foit divisée en vingt parties éga

les nombres 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, II, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, o, qui décroissent arithmetiquement, representent les hauteurs décroissantes de la Figure.

Pour faire que l'une de ces deux Figures ait ses

les ;

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