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élemens décroissant en Raison doublée des hauteurs, il faut prendre les quarrés de ces nombres; sçavoir 400, 301, 324, 289, 256, 225, 196, 169, 144, 121, 100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0, dont la fomme est 2870.

A l'égard de la Figure dont les élemens ne décroissent pas, il faut prendre 400, quarré du plus grand nombre qui est l'élement de la base, autant de fois qu'on a pris d'élemens décroissans en Raison doublée, c'est-à-dire , 21 fois; la somme de ces élemens non décroissans sera 8400.

Le nombre 8400 represente donc la Figure dont les élemens ne décroissent point, & le nombre 2870 represente la Figure dont les élemens décroissent en Raison doublée des hauteurs.

Or le nombre 2870 est tant soit peu plus du tiers du nombre 8400 ; car son triple est 8610, qui excedc 8400 de 210; c'est-à-dire , qu'en cet exemple, la Figure décroissant excede le tiers de la totale de la 120 partie de la totale, ce qui est déja fort

peu de chofe.

que j'eusse

Mais si au lieu de diviser la hauteur en vingt parties égales , je l'avois divisée en 100, & operé, comme je viens de faire sur les vingt parties, j'aurois approché beaucoup plus près de la précifion; car la somme des quarrés depuis 100 jusques à i inclusivement, est 338350; la somme du grand élement qui est 10000 pris cent & une fois, eft 1010000; ainsi la Figure dont les élemens décroissent, n'excede le tiers de la Figure totale que de 1683, c'est-à-dire, de la fix centiéme partie de la Figure totale. Et si je veux prendre la peine de diviser la hauteur en un million de parties, je trouverai que la Figure décroissante n'excedera pas le tiers de la totale d'une lix mille milliéme partie de

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la totale; en sorte que poussant toûjours plus loin la division de la hauteur, je réduirai cette difference à une quantité plus petite qu'aucune quantité donnée, d'où s'ensuit la parfaite égalité entre la Figure décroissante & le tiers de la totale, en supposant le nombre des élemens indéfini, comme il l'est en effet.

Il n'y a qu'à suivre la même méthode pour dé montrer, que si les élemens décroissent en Raison triplée des hauteurs, la Figure décroissante sera le quart de la Figure non décroissante.

Que si les élemens décroissent en Raison quadruplée des hauteurs, la Figure décroissante sera la cinquiéme partie de la Figure non décroissante, & ainsi à l'infini. Voila une belle carriere ouverte à la méditation.

I. COROLLA IR E. Le Cone est le tiers du Cylindre de même base & de même hauteur : car les élemens du Cylindre ne décroissent point. Ceux du Cone, qui sont des cercles paralleles, sont entre eux comme les quarrés de leurs raions. Or ces raïons étant entre eux, comme les hauteurs, les quarrés des raïons sont en Raison doublée des hauteurs; donc ces cercles ou élemens décroissent en Raison doublée des hauteurs; donc leur somme totale qui est la solidité du Cone, eft le tiers de la solidité du Cylindre.

La même chose s'ensuit évidemment pour la Pyramide à l'égard du Prisme de même base & de même hauteur.

I I. COROLLAIRE. Si la deniere Figure ci-dessus eft supposée tour'ner sur l'Axe immobile BD, le Rectangle ABCD, décrira un Cylindre, la courbe CHLIB, décrira une espece de Cone concave; je dis que la solidité se

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ra la cinquiéme partie de la solidité du Cylindre.

Il n'y a qu'à démontrer que les elemens de ce Coo ne décroissent en Raison quadruplée des hauteurs. Cela est facile.

Ce Cone a pour élemens des cercles paralleles ; j'en choisis deux, dont les raïons sont par exemple CD, LM. Ces cercles font entre eux en Raison doublée des lignes CD, LM, qui font elles-mêmes par la nature de la courbe, & suivant la construction, en Raison doublée des hauteurs BD, BM. Or la Raison doublée d'une Raison doublée est une Raison quadruplée, par exemple, la Raison doublée de 1 à 2 , est 1, 4; la Raifon doublée de 1 à 4, est 1, 16, qui est quadruplée de 1, à 2; donc les cercles qui ont pour ražons les lignes CD, LM, font en Raison quadruplée des hauteurs BD, BM. La même chose se démontrera de tous les autres élemens ; donc leur somme totale qui est le Cone concave, est la cinquiéme partie du Cylindre, dont les élemens ne décroissent point.

III. COROLLAIRE. Etant donné le quarré ABCD,

A sa Diagonale AD,& le quart de cercle CEB; fi l'on fait tour

F ner la Figure fur HER l'Axe immobile BD, la ligne AD, décrira un Cone; les côtés CA, AB, &

D le quart de cer

B

de CE B, décriront une espece d'écuëlle ; je dis

que l'écuëlle est égale au Cone.

Car l'écuëlle & le Cone ont même base, sçavoir un cercle dont le raïon est AB; ils ont de plus même hauteur ; sçavoir, les lignes AC, DB, il n'y a plus qu'à démontrer que tous leurs élemens sont égaux chacun à chacun, par exemple , que la couronne qui a HE pour largeur, est égale au cercle qui a FG, pour raion. Or il n'y a rien de plus facile.

A cause du triangle Rectangle EGD, si du quarré ED, ou de HG, son égale , j'ôte le quarré de EG; reste le quarré de GD, ou de FG, son égale.

C'est-à-dire , fi du quarré de HG, j'ôte le quarré de EG, refte le quarré de FG.

Or les cercles sont entre eux comme le quarré des raions.

Donc si du cercle qui a HG, pour raion, j'ôte le cercle qui a EG, pour raïon, j'aurai le cercle qui a FG, pour raïon.

Et par consequent la couronne qui a HE, pour largeur, n'étant autre chose que ce qui reste; lorfque du cercle qui a HG, pour raion, l'on ôte le cercle qui a EG, pour raion, cette couronne est manifestement égale au cercle qui a FG, pour raïon. On démontrera la même chose de tel autre element qu'on voudra choisir ; donc l'écuëlle est égale au Cone , qui par le Corollaire premier est le tiers du Cylindre; donc l'écuëlle est le tiers du Cylindre formé par la révolution du quarré ABCD; d'où s'enfuit que l'Hemisphere formé par la révolution du quart de cercle CEB, autour de l'Axe BD, eft en solidité les deux tiers de la solidité du Cylindre. L'on voit par là, comme l'on peut aller aux mêmes vérités par differens chemins.

Je ne m'arrête point à déduire de ces mêmes

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principes, que la surface de l'Hemisphere est égale à la surface cylindrique de même base & même hauteur ; qu'un Cone équilatere est à la Sphere infcrite dans sa folidité, comme , est à &C. Ces principes sont li féconds , qu'on pourrait en tirer des volumes entiers de consequences. Il suffit d'avoir montré le chemin à ceux qui voudront exercer leur esprit.

Mais afin de donner ici les élemens des principales méthodes qui ont été inventées pour mesurer les grandeurs, & particulierement les Solides, il faut dire un mot de la fameuse découverte du Pere Guildin Jesuite, touchant l'admirable proprieté du centre de gravité.

On appelle centre de gravité d'une quantité quelconque,

ue, soit Ligne, Surface, ou Solide , un point dans cette quantité, autour duquel toutes les parties de cette même quantité sont dans un parfait équilibre; par exemple, si une surface quarrée est pofée sur la pointe d'une aiguille , il n'y a qu'un seul point dans cette surface où elle puisse refter fans incliner de côté ni d'autre , & ce point est appellé le Centre de gravité.

De même, le centre de gravité d'une ligne droite , est le point du milieu de cette ligne , par lequel, fi on la supposoit suspenduë, elle n'inclineroit ni d'un côté ni d'autre.

Cen'est pas toûjours une chose aisée, que de trouver geometriquement le centre de gravité de certaines grandeurs; mais il y en a une infinité; donc on le trouve très-facilement : Et voici l'usage qu'en a fait ce sçavant Religieux.

Soit une surface rectangle BCDE, dont le centre de gravité soit le point A.

Soit mû ce Rectangle circulairement sur l'Axe im

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