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Si l'Angle donné est opposé à l'un des côtés donnés , il faudra dire; comme un côté connu est au Sinus de l'Angle qui lui est opposé, ainfi l'autre côté connu, est au Sinus de l'Angle qui lui est opposé:on connoîtra donc ce dernier Sinus, & par consequent son Angle : voila deux Angles pour lors connus; d'où s'ensuivra la connoissance du troisiéme, & ensuite la connoissance du troisiéme côté.

Que si l'Angle donné est compris par les deux côtés connus, cet Angle sera droit, aigu ou obtus.

Si cer Angle est droit, il n'y a qu'à prendre la somme des quarrés des côtés donnés, cette somme sera égale au quarré dé la base; ainsi tirant la racine quarrée de cette somme, l'on aura la base, & par consequent les deux autres Angles.

Si l'Angle donné eft aigu , comme est ici l'Angle CAD, & que les côtés CA, AD, soient connus; je mene de l'extremité C, la perpendiculaire CB, & je forme par là le trian

B gle Rectangle CAB, dont je connois les trois Angles & le côté AC; ainfi. par ce qui vient d'étre dit, je connoîtrai le côté AB, & la D perpendiculaire CB.

Jöte le côté AB, du côté connu AD, me reste BD connu.

Considerant maintenant le triangle Rectangle DBC, i'en connois l’Ang'e droit & les côtés BD, BC; donc j'en connoîtrai la base DC, dont le quar

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ré est égal au quarré des deux côtés. Je connois donc à present les trois côtés du triangle CAD, & un Angle; d'où s'ensuit que je connoîtrai facicilement les deux autres.

Mais si l'Angle donné est obtus, comme est ici l'Angle CAB, & que les côtés CA, AB, soient connus.

Soit prolongé un des cotés,comme BA, jusques en

D

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A.

D, B

en forte

que de C, extremité de l'autre côté, l'on puisse mener sur le côté prolongé, la perpendiculaire CD

Alors considerant le triangle rectangle CDA, il est aisé de voir qu'on en connoît les trois Angles & un côté : car l'Angle en D, est droit par construction ; l'Angle CA B, étant donné, son complément CAD, sera connu, & par consequent le troisiéme ACD; le côté As, est donné; donc par ce qui a été dit , l'on aura le côté CD, & le côté DA.

Ajoûtant maintenant le côté DA, au côté donné AB, on aura DB , connu ; ainsi dans le triangle rectangle CDB, l'on connoît le côté CD, & le côté DB; d'où l'on connoîtra aisément la base BC; dont le quarré est égal au

au quarré des deux côtés, ainsi qu'il a été dit tant de fois.

L'on connoîtra donc les trois côtés du triangle CAB, avec un Angle; d'où il sera aisé de con

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noître les deux autres; ainsi la Proposition est dés montrée dans tous les cas.

SECONDE PROPOSITION. Etant donné les trois côtés d'un triangle; trouyer les trois Angles.

Il n'y a qu'à mener la perpendiculaire dont la valeur sera connuë par la 19° Proposition du 8° Liyre; cette perpendiculaire divisera le triangle total en deux triangles rectangles, dans chacun desquels on connoîtra deux côtés & l’Angle droit , & par consequent tout le reste.

Car comme un côté donné est au Sinus de l'Angle droit , ainsi la perpendiculaire connue au Sinus de l'Angle opposé.

PROBLEM E.

TROIS I E'ME PROPOSITION. Mesurer la surface du Lac ABCDEFG.

Je mesure avec une toise

B

tous les côtés; puis avec un quart de cercle exactemét 4 divisé, je mesure tous les Angles de la fi. gure; je plante des piquets à chacun des sommets de çes Angles, afin de pouvoir de loin les rez connoître plus

F

exactement. Après quoi, choisiffant, par exemple, le sommet G; je conduis un raïon visuel aux points B,C, D, E, & je mesure les Angles AGB, BCC, CGD, DGE, EGF; cela fait, je trouve la surface du Lac divisée en cinq triangles, dans chacun defquels je connois deux côtés & un Angle , & par consequent les trois côtés; la perpendiculaire & l'Aire de chacun de ces cinq triangles, dont la somme me donne la surface cherchée.

Si cette furface étoit supposée être celle d'un Reservoir également profond par-tout, il n'y auroit qu'à la multiplier par la profondeur, pour avoir ce que le Reservoir contiendroit en soilidité.

P R O B L E M E. QUATR I E'M E PROPOSITION. Mesurer la distance de la Tour inaccessible A, B.

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B Je suppose que je suis situé au point C, & que je veux sçavoir quelle distance il y a du point C, au point B, qui est le pied de la Tour, située en pleine mer;

Je plante un piquet au point C, ensuite de quoi quittant ma place, j'avance sur le terrain au point

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B D, où je plante un autre piquet; je mesure exactement la distance des piquets C, D, après quoi conduisant mon raion visuel de D, en B, je mesure l’Angle CDB; je mesure pareillement l'Angle DCB, & par consequent dans le triangle D C B, j'ai un côté & deux Angles connus; donc par la premiere Proposition de ce Livrç, je connoîtrai le côté CB, qui est la distance cherchée.

Il m'eft bien facile après cela de connoître la hauteur de la Tour B A, je n'ai qu'à conduire mon raion visuel du point C, au sommet de la Tour A, & mesurer l'Angle BCA; j'aurai dans le triangle BCA, deux Angles connus, à cause de l'Angle en B, que je suppose droit, le côté CB, m'est aussi connu; je connoîtrai donc le reste, & par consequent le côté B A, qui est la hauteur de la Tour.

Par ce Problême il est aisé de mesurer la largeur d'une Riviere , d'un Détroit, &c.

PROBLEM E,

CINQU IE'ME PROPOSITION. Mesurer la longueur du pan de muraille inaccesGble AB.

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