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de 10, & prenant la moitié de la fomme qui fe trou

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trouve être

86596432

10000000

, & dont le logarithme fe

trouve par la même pratique 93750000.

10000000

86596432

Or ce nombre.

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eft encore plus petit

Ainfi je cherche entre

86596432

1000 0000

un moïen proportionel geometrique

que je trouve par la même méthode, être 23057204

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cher un moien geometrique proportionel, qui fe touveroit encore plus grand que celui-ci, qui l'eft déja trop; c'est pourquoi j'en chercherai un entre

86596432 93057204, & prendrai auffi le loga

10000000

&

I 0000000

,

rithme. Ainfi ce moien proportionel geometrique 89768713 & fon logarithme 95312500..

fera

10000000

1

Ainfi en cherchant toûjours entre le plus prochainement moindre, & le plus prochainement plus des moïens geometriques pro

grand que

9Q000000

10000000

portionels avec leurs logarithmes, on approchera toûjours de plus en plus du nombre cherché 90000000 en forte que le vingt-fixiéme nombre

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logarithme fera 95424251.

fera précisément le

, ou entiers 9, & fon

C'eft une fuite naturelle de ce que nous avons démontré ci-deffus,

Il eft aifé d'avoir par la même méthode le loga

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plus petit, & ce nombre plus grand, un moïen proportionel geometrique; & un moïen propor tionel arrithmetique entre leurs logarithmes : continuant toûjours, comme l'on vient de faire pou

le nombre 9; viendra enfin d'une part

600000 or

10000000

ou 6; & d'autre part fon logarithme 7781512.

Cette feule méthode pourroit abfolument fuffire à trouver les logarithmes de tous les nombres intermédiaires de la progreffion geometrique; mais il y a des abbregés confiderables qu'il ne faut pas ignorer.

Dès qu'on a les logarithmes de 9, de 7, de 6, par les méthodes qu'on vient d'expliquer, on en trouve une infinité d'autres fans peine; car on voit clairement, par ce qui a été dit, que le logarithme de 9 donne celui de 3, puifque 9 n'eft autre chofe que 3 multiplié par 3, & que

1,33,9 geometriquement & arithmetiquement o, eft au logarithme de 3, comme le logarithme de 3, au logarithme de 9: donc la fomme du logarithme de 9 & de o, logarithme de l'unité; c'eft-à-dire, le logarithme de 9 eft égal au logarithme de 3, & au logarithme de 3, ou au double de logarithme de 3: donc le logarithde 3 cft moité du logarithme de 9.

On voit encore clairement par là qu'étant donné le logarithme d'un nombre quarré, il n'y a qu'à prendre la moitié de ce logarithme, pour avoir le logarithme de la racine d'un nombre donné. Ainfi 95424251 étant logarithme de 9; la moitié 47712125 fera logarithme de 3, qui eft racine de 9.

Par la même raifon, étant donné le logarithme d'un nombre cubique, comme 216, dont le loga

rithme eft 23344537; fi je prens le tiers de ce log qui fera 7781512; ce tiers fera logarithme de 6, racine cubique du nombre 216; & c'est une grande facilité pour l'extraction des racines.

Aiant le logarithme de 3, & le logarithme de 6, il eft facile d'avoir le logarithme de 2, puifque le nombre 6 eft le produit de 3 par 2, & que par confequent 1, 2:3, 6 geometriquement, donc arithmetiquement o eft au logarithme de 2, comme le logarithme de 3 au logarithme de 6; donc la fomme de o & du logarithme de 6; c'eft-à-dire, le logarithme de 6 eft égal à la fomme du logarithme de 2 & du logarithme de 3; donc fi du logarithme de 6 on ôte le logarithme de 3, reftera le logarithme

de 2.

Aïant le logarithme de 2, qui fe trouve 3010300, il n'y a qu'à le doubler, viendra 6020600 pour le logarithme du nombre 4, puifque 2 eft racine de 4.

Par la même raifon, doublant le logarithme de 4, on a le logarithme de 16; doublant le logarithme de 16, on a le logarithme de 256, quarré de 16, &c.

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Aïant le logarithme de 2 & celui de 4, on a celui de 8, puifque I 2:4, 8 geometriquement & arithmetiquement o eft au logarithme de 2, comme le logarithme de 4 au logarithme de 8; donc la fomme des deux moïens eft égale à celle des extrêmes; c'est-à-dire, le logarithme de 2, ajoûté au logarithme de 4, fait le logarithme de 8, qui fe trou

ve 903090 0.

on a

Aïant le logarithme de 2 & celui de 10, auffi le logarithme de 5, puisque 10 eft le produit de 5 par 2, & que 1,2::5, 10 geometriquement, donc arithmetiquement o eft au logarithme de 2, comme

le logarithme de 5 au logarithme de 10; donc la fomme de o & du logarithme de 10; c'est-à-dire, le logarithme de 10 eft égal aux deux logarithmes de 5 & de 2; donc êtant du logarithme de 10le logarithme de 2, reftera le logarithme de 5, qui se trouve 6989700.

Voila donc les logarithmes de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, lefquels par la fimple addition, ou fouftracton en donnent une infinité d'autres, ainfi que l'on vient de l'expliquer; comme 12, 14, 18, 20, 15, 21, 24, 27, 30, 28, &c. en un mot les logarithmes des produits de deux nombres quelconques, dont on a les logarithmes, les logarithmes des quarrés, dont on a la racine avec fon logarithme, &c.

A l'égard des nombres, qui ne font point produits d'autres nombres, ou qui ne font point fousmultiples de quelque nombre, dont le logarithme foit connu; comme, par exemple, 11, 13, 17, 31, &c. il faut emploier la méthode dont on s'eft fervi pour le logarithme du nombre 9. Ainfi pour trouver le logarithme de 13, comme l'on a aifément le logarithme de 12 & le logarithme de 14; il faut chercher des moiens geometriques proportionels I 20000000 140000000 ; & des moïens a

entre

10000000

&

10000000

rithmetiques proportionels entre leurs logarithmes connus, jufqu'à ce qu'on trouve d'une part

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Mais comme il y a eu des perfonnes laborieuses, qui ont bien voulu conftruire toutes ces Tables avec un grand foin, on n'a qu'à profiter de leur travail ;

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