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fible que

que ces fix

fus ajoûter le logarithme de 1000 au logarithme de 3555682; c'est-à-dire , 30000000 à 6512649, & j'aurai 9512649, tel qu'il est marqué dans la Table.

Il faut encore avertir les commençans de ne se pas méprendre à la définition des logarithmes, qui pourroit les induire à erreur.

En confiderant la Table, on trouve par exemple, Nombres .

Logarithmes. On a défini les lo

3010300 garithmes, nombres 3

4771212 en proportion arith6020600

metique: or il est vi6989700 6 7781512

nombres logarith7 8450980, &c. miques ne sont pas en proportion arithmetique , puisque l'excès du fecond sur le premier, est bien plus grand que l'excès du troisiéme sur le second.

Il ne faut donc pas s'arrêter à cette seule partie de la définition, il y faut joindre la seconde : ce sont véritablement des nombres en proportion arithmetique , mais correspondans à des nombres qui font en proportion geometrique.

Ainsi dans l'exemple que nous venons de choisir ; quoique le premier, le second , le troisiéme & le quatriéme logarithme ne soient point en proportion arithmetique; cependant le premier, le second, le troisiéme & le cinquiéme sont en proportion arithmetique : car le premier est moindre que le second de 1760912, comme le troisiéme est moindre que le cinquiéme aussi de 1760912; & ces quatre nombres 3010300, 4771212, 6020600, 7781512 correspondent aux quatre nombres 2,3,4,6, qui sont en proportion geometrique : d'où suit, que

suivant la définition entenduë comme elle doit l'être,

و

ces quartre derniers nombres 2, 3, 4, 6 ont pour logarithmes 3010300, 47712 12,60 20600, 7781512 qui sont véritablement en proportion arithmetique, mais non pas en proportion continuë; non plus que les quatre nombres 2, 3, 4,6 qui font en proportion geometrique, mais non pas en proportion continuë. Car quoique 2 foit à 3, comme 4 est à 6 geometriquement, 2 n'est pas à 3 geometriquement, comme 3 eft à 4. J'ai vû des person. nes affés avancées dans la connoissance des Elemens, que cette difficulté, toute médiocre qu'elle est, avoit embarassé. Il n'est

pas

inutile de faire observer à ceux qui commencent à se servir des Tables, que les différences des logarithmes des premiers nombres font bien plus grandes que celles des logarithmes des der-njers, ainsi qu'il est facile de le remarquer.

Le logarithme du nombre 3 est 4771212 ; le logarithme du nombre 4 est 6020600 : leur différens ce est donc 1249388. Or le logarithme du nombre 9996, est 39998262, & le logarithme du nombre 9997, qui ne furpasse fon precedent que de l'unité, est 39998697 : la différence de ces deux derniers logarithmes est 435, qui est deux mille huic cens soixante & douze fois moindre que la différence des logarithmes de 3 & de 4. La pratique de la construction des Tables rend toute seule raison de ces grandes inégalités : car Progrefl: Progress Entre 1 & 10, il faut trougeometr. arithmet. ver huit nombres intermés. diaires, dont il faut

que

less logarithınes se trouvent en

tre o. & 1. Entre ro & 100, il en faut trouver 88, dont il faut

que

les logarithmes se trouvent entre 1 & 2; ainsi la progression

I

IO 100

2

arithmetique n'augmentant jamais que de l'unité; cette unité correspond, dans la progression geometrique à d'autant plus de nombres que la progreffion geometrique va en augmentant. Cette observation rendra raison d'une pratique que nous allons expliquer.

Je veux sçavoir à quel nombre appartient le logarithme 38652390 ; je cherche dans la Table le logarithmé le plus prochainement moindre, & je trouve que c'est 386522225, qui est logarithme du nombre 7332. Mais le logarithme donné étant plus grand, il faut aussi que le nombre, dont il est logarithme, soit plus grand que 7332 : or cet excès ne peut être qu'une fraction ; car le logarithme de 7333 est dans la Table 38652817 plus grand que le logarithme propo

Pour sçavoir quelle doit être cette fraction, je prens la différence du logarithine donné 38652390, & du logarithme le plus prochainement moindre; cette différence est 165, que je mets à part.

Je prens ensuite la différence du logarithme du nombre 7332 & du logarithme du nombre 7333 , laquelle est 592. Ensuite, faisant une regle de trois, je dis :

Si la différence des deux logarithmes 592 donne l'unité ou 1, combien donnera 165, différence du logarithme proposé 3. 8652390, & du logarithme le plus prochainement moindre , & je trouve

592 ainsi le nombre, dont 38652390 est le logarithme,

165 sera 7332 +

Mais si l'on me proposoit le logarithme 1607654, & qu'il fallût trouver le nombre dont il est le loga

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165.

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592

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rithme, cette méthode ne me donneroit pas exactement la fraction qu'il faut trouver : car prenant la différence de ce logarithme donné, & du plus prochainement moindre, je trouve qu'elle est 55913, & c'est la différence du logarithme du nombre 49 & du logarithme donné. Je prens ensuite la différence du logarithme de 40 du logarithme 41, qui se trouve ëtre 107239. Si je faisois maintenant une regle de trois , &

que je dice:

Si 107239 donnent i, combien 55913. Comme les différences de ces premiers logarithmes sont très-grandes, & diminuent fort inégalement; cette regle ne donneroit pas ce qu'il faut : car quoique $5913 foit presque la moitié de 107.239, cette unité qu'il faut divifer, & dont il faut prendre une partie , ne doit pas être à beaucoup près divisée dans la proportion de ces deux nombres , à cause de la grande inégalité du décroissement des logarithmes.

Pour remedier à cet inconvenient, au logarithme donné 16076543 , j'ajoûte le logarithme de 100, qui est 20000000, vient 36076543, par la méthode ci-dessus je cherche le nombre auque! 36076543 appartient, & je trouve que ce logarithme convient au nombre

cette frac

4018

tion 4

est exacte, ou très-peu s'en faut; parce que

5 les différences de ces grands logarithmes n'ont pas les inégalités des premiers.

Mais comme ce logarithme 3. 6076543 a été formé par l'addition du logarithme donné 16076543, & du logarithme de 100, qui est 20000000

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la somme des deux logarithmes est logarithme d'un nombre cent fois plus grand que celui dont 16076543 eft logarithme, suivant ce que nous avons dit tant de fois; donc il faut prendre la centiéme pastiç du pombre trouvé 40184, qui sera

94

40 5

Soo On voit par là combien cette fra&tion est éloignée d'avoir avec l'unité la même proportion que 55913 avec 107239

C'est pourquoi lorsque le logarithme donné eft moindre que le logarithme de 1 000, il faut l'augmenter comme nous venons de le pratiquer.

Que fi. l'on me proposoit un logarithme plus grand que le logarithme de 10000, lequel eft 4. 0000000; par exemple, si l'on me proposoit 4.5524118, qui ne se peut trouver dans la Table, de ce logarithme donné, j'ôte le logarithme du nombre 10, qui est 10000000 , me reste 35524118, que je trouve appartenir au nombre 35672, lequel nombre, par les principes ci-dessus posés, doit êttre la dixiéme partie du nombre dont le logarithme a été propofé; parce que de ce logarihme on a retranché le logarithme de 10 ; ainfi multipliant 135672, par 10, on aura 35672 pour le nombre dont 45524118 est le logarithme.

Par les mêmes principes, fi l'on me propose le logarithme négatif ci-dessus 1249988, & que l'on me demande de quelle fraction il est logarithme; à ce nombre négatif s'ajoûte un logarithme à difcretion ; par exemple, le logarithme du nombre 360, qui est 25563025, la somme est 24313037; ce logarithme eft correspondant au nombre 270,

Rüj

10

IO

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