페이지 이미지
PDF
ePub
[merged small][ocr errors]
[ocr errors]

CINQUIE'M E PROPOSITION.
Dans le même cercle , ou dans les cercles égaux
les Sinus égaux donnent des arcs égaux, & les arcs
égaux, donnent des Sinus égaux.

Car BF, Sinus de l'arc
BD, étant égal à CG, Si-

В.
nus de l'arc CE, BI, dou-
ble du premier Sinus , serą
égale à CH, double du
second Sinus. Or les deux

F
cordes BI, CH, étant éga- Di
les, elles soutiennt des arcs
égaux; sçavoir , Parc IDB,

E
& l'arc CEH. Donc leurs

HS

I
moitiés DB, CE, seront
égales. On démontrera de même l'autre cas de la
Propofition.

SIX I E'M E PROPOSITION.
Si plusieurs circonferences sont concentriques;
c'est-à-dire , fi elles ont le même centre, & que l'on
tire du centre des raions terminés à la grande cir-
conference, ces raïons couperont dans les autres
circonferences des arcs qui auront chacun même
rapport à leur circonference, que l'arc de la grande
aura à la sienne,
Car si l'on considere la

I
ligne AL, tournant de
telle forte, que son point

L
A, tournant en lui-même HEX
son extremité L, décrive

A
la grande circonference,
il est évident que chacun
des points intermediaires,

В.

comme GD, décrira une circonference concentrique : & que lorsque le raïon AL, sera parvenu au point I, le point D, sera parvenu en C, & le point G, en F; en sorte que si Li, est par exemple, la cinquiéme partie de la grande circonference, GF, sera la cinquiéme partie de la moïenne, & CD, de la petite. De même quand le point L, sera arrivé en H, les points G, D, seront arrivés aux points EB, & ainsi du reste.

DES SECANTES EXTERIEURES.

SEPTIE'ME PROPOSITION.

De toutes les Sécantes exterieures, la plus courte est celle qui étant prolongée pafferoit par le centre: Car fi BD, Sécante est

B supposée passer par le centre

A, en la prolongeant; du même centre A, soit tiré le rajon CA, au point C, où

D aboutit toute autre Sécante comme BC. Il est évident que ACB, pris ensemble, enferme AB; donc ACB, est plus long que A B. Si donc de ces deux quantités inégales, on en retranche les raïons AC, AD, qui sont égaux, le reste BC, sera plus grand que le reste BD.

HUITI E'ME PROPOSITION. De toutes les Sécantes exterieures, la plus longue est celle qui passe par le centre.

.

В iiij

Je dis , par exemple, que la Sécante AD, qui passe par le centre B, est plus longue que la Sécante AC. Soit tiré le raion BC. La Sécante AB, est égale aux deux lignes AB, BC, puisque c'est une même quan

B tité ; sçavoir , BD, BC, ajoûtée à la quantité AB. Or AB,BC, est plus grand que la ligne Ac, qu'il renferme; donc AD, est plus

D grand que Ac.

DES SECANTES INTERIEURES.

NEUVIE'M E PROPOSITION.

La plus longne de toutes les Sécantes interieures est celle qui passe par le centre. Car la Sécante ABD,

A qui passe par le centre B, est égale aux deux. lignes AB, BC, prises ensemble, à cause de l'égalité des

В. rajons BD, BC. Or AB, BC, contient AC, & par consequent 'est plus grand

que A C.

D

DIXIEME PROPOSITION.

La plus courte de toutes les Sécantes interieures, est celle qui prolongée passeroit par le centre.

[ocr errors]

Soit la Sécante BD, prolongée jusqu'au centre A, & du centre A, soit mené le raïon AC, au point C, où aboutit la Sécante BC;

А je dis que BD, est plus

B courte que BC; car la toute AD, qui est un raion, eft égale au ražon AC. Or ABC, contient Ac, donc ABC, est plus grand que AD. Donc si l'on retranche AB, qui leur est commun, le reste BD, sera plus court que le reste BC.

DES TANGENTES.

ONZIE'ME PROPOSITION. Toute ligne perpendiculaire sur l'extremité d'un rajon , touche le cercle, & ne le touche qu'en un feul point.

Sur le point B, extremité du raion AB, soit menée la ligne DBE, perpendiculaire. Il est déja bien certain qu'elle touche le cercle, puisque le point

est commun à fon raïon AB, & D

-M

с B à la ligne D BE. Pour prouver qu'elle ne le peut toucher en aucun autre point comme C. Soit menée du centre A, la ligne A C; il est certain qu'elle sera oblique sur la Tangente, puisque du point A, Pon ne peut mener

[ocr errors]

qu'une seule perpen-
diculaire. Or par la
4 Proposition du I
Livre, la perpendicu-
laire est la plus courte
de toutes les lignes,
qu'on peut mener sur
la Tangente D E;
donc l'oblique AC,
sera plus longue que D-
la

с B perpendiculaire AB, qui est un raïon ; donc fon extremité C, est hors du cercle , & par consequent le point C, n'est pas commun au cercle & à la Tangente.

DOU ZIE'ME PROPOSITION. Il est impossible de faire passer une seule ligne droite entre la Tangente & le cercle , quoiqu'on y en puisse faire passer une infinité de circulaires, qui ne se rencontreront toutes qu’au seul point de contingence.

1o. Aiant mené la Tangente DBE. Si vous dites qu'on puisse faire passer F. entre elle & le cer

Α. cle, la ligne BF, sans qu'elle coupe le cercle; voici comme je démontre l'im-E

D poffibilité du cas.

B La ligne Tangente ED, est perpendiculaire fur l’extremité du rason AB, donc la ligne FB est oblique fur le raïon AB; & réciproquement le raïon AB, eft oblique sur la ligne FB. On peut donc du centre A, mener fur FB, une perpendiculaire

« 이전계속 »