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D)

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comme Ac. Cette perpendiculaire AC, sera plus courte que le raion AB, par la 4 Proposition du I Livre; donc le pointc, extremité de la perpendiculaire AC, sera au-dedans du cercle, & n'ira pas jufqu'à la circonference ; donc la ligne BCF, entre necessairement au-dedans du cercle.

2o. Aïant le petit cercle dont le raion eft AC, & la Tangente ECF. Si le raïon AC, est prolongé à l'infini,

B
& que dans ce raïon

А
prolongé, l'on choisisse
une infinité de points,

G comme B, pour servir

F de centre à de nouvelles circonferences, dont le raïon soit B C. Je dis que toutes ces circonferences n'ont aucun point commun, que le seul point C, point de contingence. Car, par exemple, si l'on dit que le point G, est communaux deux circonferences de la figure; du point A, centre du petit cercle , soit mené au point G , la ligne AG.

La ligne Ac, eft raïon du petit cercle ; elle est Sécante interieure à l'égard du grand cercle, & passeroit par fon centre B, fi elle étoit continuée. La ligne

AG, est encore une Sécante interieure à l'égard du grand cercle. Or par la 10 Proposition de ce Livre, la ligne Ac, est nécessairement plus courte qu'aucune Sécante interieure menée du point A; donc la ligne AC, est plus courte que la ligne AG; donc la ligne AG, est plus longue que le raion du petit cercle. Donc son extremité est hors de la circonference du petit cercle; donc le point G, & le point. D, ne font pas le même point. On démontrera la même chose de tout autre point choisi à discretion

dans toutes les circonferences possibles , qui auront leur centre dans la ligne CB, prolongé à l'infini, & . la ligne ECF, pour Tangente.

COROLLAIRE. Il est impossible d'un autre point que le centre, de mener trois lignes égales, jusqu'à la circonference.

Car on a démontré que la Sécante interieure qui passe par le centre, est plus longue qu'aucune autre menée du même point , & que la Sécante interieure, qui continuée , passeroit par le centre, est plus courte qu'aucune autre. D'où suit manifestement que toutes les intermediaires sont inégales, & par consequent qu'on peut avoir tout au plus deux Sécantes interieures égales entre elles, dont l'une sera d'un côté, & l'autre sera de l'autre côté, à l'égard de celle qui passe par le centre.

I I. COROLLA IR E. Le point d'où l'on peut mener jusques à la circonference trois lignes égales, est necessairement le centre du cercle.

TREIZ I E'ME PROPOSITION.
D'un point donné comme A, hors du cercle BCD,
tirer deux Tangentes à ce cercle, & démontrer qu'el-
les sont égales.

A
Du point E, centre du
cercle, soit tirée jusqu'au

F
point donné A, la ligne

C:
EA.

D
Du centre E, intervale

E
EA, soit décrit le cercle
I AH. Au point C, où Il

H le raïon EA, coupe le

G

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petit cercle, soit menée la perpendiculaire FCG, terminée par la circonference aux points FG, cette perpendiculaire sera Tangente à l'égard du petit cercle, & corde à l'égard du grand. Soit prise avec le Compas la longueur FG, qui soit portée du point donné A, jusques aux points de la grande circonference IH. Soient menées les lignes AI, AH; je dis qu'elles sont Tangentes à l'égard du petit cercle.

Par la construction FG, eit Tangente; FG, AI, AH, font cordes égales aussi par la construction, Donc elles sont également éloignées du centre E. Or la distance du centre E, jusques à la corde FG, est mesurée par le raion EC, qui lui est perpendiculaire; donc la distance des deux autres cordes AI, AH, également éloignées de ce centre, sera mesurée par les ražons EB, ED. Donc ces deux raïons leur sont perpendiculaires, aatrement ils n'en mesureroient pas la distance à l'égard du centre. Donc les deux cordes AI, AH, sont elles-mêmes perpendiculaires chacune à leur raion. Donc par la onziéme Proposition de ce Livre, elles touchent le cercle aux points DB.

Il s'ensuit de la même Démonstration, que les deux Tangentes prises du point donné, jusqu'aux points de contingence , font égales , puisqu'elles sont moitié de cordes égales, par la premiere Proposition de ce Livre.

AVERTISSEMEN T. Avant de passer à autre chose , il ne sera pas inutile de faire quelques réflexions sur la douziéine Proposition de ce Livre. Elle est très-propre à humilier l'esprit humain, en le convainquant qu'il y a des vérités très-claires, quand on les considere chacune en particulier, dont il est cependant impossible de

concevoir la liaison, & qui sont de telle nature, que l'une semble détruire l'autre.

On démontre qu'une ligne droite , qui n'a aucune largeur, ne sçauroit paffer entre la Tangente & le cercle. Donc l'espace qui est entre la Tangente & le cercle , eft infiniment petit ; & toutefois cet espace infiniment petit en lui-même, peut être divise en une' infinité d'autres plus petits, puisqu'on peut faire passer entre le cercle & la Tangente, une infinité de circonferences, qui ne se rencontrent qu'au seul point de contingence. Voila donc bien certainement un infiniment petit, divisé en une infinité d'autres. Cela est démontré ; mais cela se conçoit-il bien clairement ?

Pour aider l'imagination, representés-vous une boule parfaite , posee sur un plan. Cette boule porte sur un seul point qui n'a aucune étenduë. Autrement la Tangente & le cercle auroient plus d'un point commun.

Representés-vous maintenant une boule beaucoup plus grosse que la premiere , posée sur le même plan. Cette grosse boule porte comme la premiere sur un seul point, & cependant, il est très-certain

que

la courbure de la grosse boule , est moindre que la courbure de la petite; & par confequent, qu'à compter du point de contingence, la circonference de la grosse boule s'éloigne moins de la Tangente, que la circonference de la petite ne s'éloigne de la sienne; quoiqu'il soit démontré que l'espace qui est entre la circonference de la petite boule & fa Tangente est fipetit, qu'une grandeur infiniment petite en largeur telle qu'est une ligne droite n'y sçauroit passer. C'està-dire, que cet espace est infiniment petit, & que cependant il en referme une infinité d'autres.

Tout ce qui se démontre dans les hautes specula

tions de Geometrie sur les asymptotes, les espaces asymptotiques, les Infiniment Petits de Meffieurs de Leibnitz & de l'Hospital, dont les principes sont si féconds; en un mot, tout ce qui se démontre sur l'infini, est de même nature. L'esprit humain est convaincu de certaines vérités : mais il est obligé d'avoüer sa foiblesse , quand il veut comprendre, pour ainsi dire , le comment; c'est-à-dire , comment il est possible que ces vérités subsistent ensemble ? Mais comme l'esprit humain est borné, & que le Createur de nos ames, ne leur a pas donné des lumieres infinies, c'est à nous à nous souvenir de notre condition. Rien ne seroit plus déraisonnable, que de vouloir nier des vérités dont nous sommes convaincus d'ailleurs, parce que nous n'en comprenons pas la liaifon. Nous les comprenons ces vérités, parce que nous avons une certaine mesure de raifon; nous n'en comprenons pas la liaison, parce que nous ne sommes pas Dieu, & que notre raison n'est pas infinie. . On a donc grand tort de vouloir attaquer la Geometrie des Infiinment Petits, & celle des Indivisibles, parce qu'il y a de certaines choses qu'on ne comprend pas dans la nature de l'infini, qui en effet doit être incomprehensible; mais autre chose est de le comprendre , autre chose de se convaincre qu'il existe. Javouë de bonne foi, que je suis pleinement convaincu de la vérité de la douziéme Proposition; mais j'avouë. en même temps que je ne la comprends pas.

Que si je me vois obligé de reconnoître des vérités incompatibles en Geometrie, où l'esprit humain fe pique de voir plus clair qu'ailleurs; à plus forte raison dois-je avoir de la soumission pour des vérités d'un ordre superieur à ma raison, & me souvenir toûjours que celui qui l'a créée n'étoit pas obligé de la rendre capable de tout,

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